摘要

裝有部分裝滿液體儲罐的貨車在瞬態(tài)運動期間會受到液體晃動的影響。車輛運動引起的晃動會對車輛產(chǎn)生額外的作用力，有時會對安全造成潛在威脅。以往對這一問題的研究通常使用質(zhì)量彈簧類比來表示液艙的晃動效應。其主要缺點是必須事先進行CFD分析或?qū)嶒炑芯?，以便通過曲線擬合建立等效質(zhì)量彈簧模型。本文采用頻域邊界元法和晃蕩問題的解析解，推導了晃蕩流體的模態(tài)方程和水動力參數(shù)。將通過與文獻中可用的CFD結(jié)果進行比較，檢查結(jié)果的準確性。然后，本文評估了等效質(zhì)量彈簧模型的精度，并探討了利用等效矩形儲罐內(nèi)晃動的解析解來近似圓柱形儲罐內(nèi)晃動效應的可能性。

1 簡介

由貨車瞬態(tài)運動引起的部分填充液罐內(nèi)的晃動將對車輛施加額外的力和力矩。如果外部激勵滿足液體的固有頻率，可能會產(chǎn)生較大的力和力矩，這有可能使車輛傾覆。已經(jīng)對識別晃動的固有頻率以及由此產(chǎn)生的力進行了大量研究。McIver以積分方程的形式給出了臥式圓筒形儲罐的解析解。Faltinsen給出了淺水假設下的簡化解，并比較了圓柱形和矩形水箱之間的差異。采用邊界元法或CFD進行了數(shù)值模擬。

然而，當試圖將流體動力學研究的結(jié)果應用于車輛運動仿真時，存在一定的困難。對于任意填充高度的臥式圓筒形儲罐，很難找到其固有頻率和晃動力的簡單解析解。數(shù)值方法適用，但通常很耗時。

因此，許多研究人員將晃動的液體簡化為與車身相連的線性質(zhì)量彈簧模型[3-4]或擺錘模型[5]。這種方法的缺點是需要數(shù)值模擬結(jié)果來校準模型。

本文的目的是提出一種利用有效的頻域邊界元法和晃動問題的解析解來考慮運動車輛晃動效應的方法。將結(jié)果與之前文獻中的CFD結(jié)果進行比較，以證明該方法的準確性。

2  流體力學公式

在線性勢理論中，不可壓縮、無旋轉(zhuǎn)流體的運動由以下主導方程控制：

                                   （1）

其中，是速度勢，是描述流體域中速度場的標量函數(shù)：

              （2）

方程的解取決于流體域的邊界條件。對于儲罐中的液體，固體壁邊界條件（3）適用于儲罐表面。在平均水位上，采用線性化運動學（4）和動力學自由面邊界條件（5）：

                                （3）

                              （4）

            （5）

此外，流體應始終遵守質(zhì)量守恒定律，由此可知，沿平均水位的自由面高程積分應為零：

                               （6）

其中η是自由面高程。在不進行詳細說明的情況下，橫向激勵下車身的運動可以通過以下模態(tài)方程來描述：

                           （7）

其中β是用于描述液體運動的廣義坐標；η是橫向的外部激勵；μ和λ是以下形式的水動力參數(shù)：

                            （8）

                               （9）

i=1,2,…,m為晃動模式。第一晃動模式產(chǎn)生的合力和力矩表示為：

                    (10)

                (11)

                         (12)

λ011是橫搖-橫搖耦合項。特別是，如果油箱的規(guī)定運動是諧波運動：

                          (13)

那么模態(tài)方程βi（12）的穩(wěn)態(tài)解也是調(diào)和的，晃動力可以表示為：

                      (14)

其中

                              (15)

類似地，橫搖-橫搖耦合項也可以寫成A24。因此，方程式（14）中的晃動項將具有與第一個慣性項相同的形式。結(jié)果表明，在簡諧激勵下，液體晃動的效果與向儲罐中添加額外質(zhì)量的效果相同。該質(zhì)量的值取決于激勵頻率，可以是正的，也可以是負的。在這種情況下，將不再需要（7）形式的獨立模態(tài)方程，可以通過在油箱的原始質(zhì)量上添加與頻率相關的質(zhì)量項來描述晃動效應。方程（11）中的晃動力矩也采用了類似但稍微復雜的附加質(zhì)量推導。此項目Aij稱為附加質(zhì)量，將在下一章的研究中使用。

方程式（10）和（11）顯示了晃蕩力和力矩的分量。對于晃動力，第一項是液體質(zhì)量的慣性，而第二項取決于水動力參數(shù)λ21，后者僅取決于自由表面形狀。對于晃動力矩，它有一個類似的慣性項，然后第二項由晃動決定，最后一項由平動自由度和轉(zhuǎn)動自由度之間的耦合共同決定。下圖1。顯示了油箱固定坐標系和用于描述油箱6自由度剛體運動的慣例。在方程式（10）和（11）中，下標η2是沿y軸的橫向運動。

圖1用于晃動問題的約束

3 穩(wěn)態(tài)晃動的頻域數(shù)值模擬

對于任意形狀的水箱，很難得到自由表面高程和晃動速度勢的解析解。在大多數(shù)情況下，必須采用數(shù)值方法。這意味著速度勢必須在每個時間步求解。為了避免耗時的時域模擬，海洋工程中廣泛使用的一種方法是將激振力和儲罐運動視為一系列穩(wěn)態(tài)諧波分量的疊加。對于每個頻率，都會有一個與頻率相關的附加質(zhì)量形式的解，如等式（14）所示。

在計算頻域響應函數(shù)后，通過傅里葉逆變換得到了時域晃動運動和晃動力。采用邊界元法（BEM）程序求解晃蕩的頻域響應。該程序利用格林第二公式解決了邊值問題。通過定義拉普拉斯方程的基本解，將求解流體域中速度勢的問題轉(zhuǎn)化為計算沿體表的邊界積分[6]。邊界元法在計算效率方面具有顯著優(yōu)勢，因為它只需要對油箱表面進行網(wǎng)格劃分。在求解速度勢后，通過對體表壓力積分得到與頻率相關的附加質(zhì)量。

            （16）

4 瞬態(tài)晃動計算和基準研究

為了證明流體動力學方法的有效性，并提供解決問題的基本程序，對裝有部分加滿汽油箱的轉(zhuǎn)向車輛進行了基準研究。車輛從零速度開始轉(zhuǎn)向，并在其瞬態(tài)期間引起晃動。全曲線加速度為0.6 m/s2。儲罐按2D尺寸考慮，長度15.5m，半徑1.5m，填充水平50%。在本節(jié)中，我們使用直接流體動力學參數(shù)來獲得晃動力和力矩，并將我們的結(jié)果與彈簧-質(zhì)量模型的精度進行比較。油箱型號如下所示。x沿水箱縱軸，y沿水平軸，z位于平均水面。

圖2邊界元模型和計算附加質(zhì)量

結(jié)果如下所示。方程（17）和（18）中附加質(zhì)量的解析解表明，附加質(zhì)量取決于激勵頻率。當激勵頻率等于固有頻率時，它將變?yōu)闊o窮大，在無限激勵頻率時，它將趨于有限值。在數(shù)值模擬中，不可能得到無窮大的值。附加質(zhì)量在固有頻率附近達到非常大的值，導致圖中出現(xiàn)雙峰。該雙峰的漸近線所在的頻率為固有頻率。可以看出，在這種情況下，固有頻率為2.97 rad \/s。質(zhì)量基于液體的3D總質(zhì)量。對于二維分析，將使用截面質(zhì)量。此外，可以看出，第一晃動模式是最常見的模式。第二個晃動模式（接近5.5 rad \/s）幾乎消失。車輛的規(guī)定運動如下所示。過渡期持續(xù)3.07 s，然后車輛以全曲線行駛9.25 s。從t=9.25s開始，車輛線性減速3.07 s，然后沿著直線行駛。加速度可以描述為：

        （17）

在這種情況下，我們可以看到規(guī)定的運動是一個具有有限時間長度的非光滑函數(shù)，這意味著該運動不能被視為穩(wěn)態(tài)諧波激勵。因此，邊界元法計算的附加質(zhì)量不直接適用。

在已知運動的情況下，下一個要求是獲得晃蕩力的水動力參數(shù)。但如上所示，邊界元法軟件傾向于解決耦合晃動問題，在該問題中，總晃動勢已得到解決，而無需對其進行分解。第1節(jié)中表示的規(guī)定運動下的晃動力與附加質(zhì)量沒有直接關系。我們?nèi)匀恍枰獜母郊淤|(zhì)量結(jié)果中獲得所需的參數(shù)。要計算的水動力參數(shù)為λ21和λ011。

附加質(zhì)量可用于推導這些參數(shù)之間的關系。讓激勵頻率為無窮大，我們得到：

                  （18）

A24可以用類似的方式表示。水動力參數(shù)與無限頻率下的附加質(zhì)量有關。然而，當附加質(zhì)量的計算僅提供兩個方程時，就存在三個未知數(shù)。精確的特征函數(shù)f2,1（也是晃動期間自由表面的模態(tài)形狀）沒有完整的解析解。由于還需要一個方程，我們選擇使用自由面高程f2,1的試驗函數(shù)來獲得近似解。

我們用于自由面高程的試驗函數(shù)是余弦函數(shù)，它是矩形水箱的特征函數(shù)：

             （19）

它是一個奇函數(shù)，滿足質(zhì)量守恒邊界條件（6）。不一定滿足運動學和動力學自由面邊界條件。結(jié)合給定的附加質(zhì)量，我們得到了對三個未知量μ2、λ21和λ011的估計?？梢杂嬎隳B(tài)方程和晃蕩力。計算的參數(shù)以及晃動力和力矩如下所示。

圖3流體力學和CFD結(jié)果的比較

表1 計算和導出的參數(shù)

5 結(jié)論

本文旨在提供晃動動力學和車輛動力學之間的接口，并通過基準研究證實了所提出方法的可行性。應用線性勢流理論，用模態(tài)方程和流體力學參數(shù)描述液體晃動。為了填補穩(wěn)態(tài)晃動計算結(jié)果與瞬態(tài)晃動計算所需輸入之間的差距，使用了自由面高程的試驗函數(shù)。導出的模態(tài)方程和水動力參數(shù)可與貨車運動方程一起求解，得到晃蕩力和力矩。

這種方法的優(yōu)點是，它用更高效的邊界元分析代替了校準所需的耗時的CFD分析，并且可以通過向邊值問題添加一個額外維度輕松地擴展到3D。此外，它還能夠解釋晃蕩機制，包括自由度之間的耦合效應、存在外力矩時由Stoke-Joukowski勢引起的附加力矩以及更高的固有模態(tài)。然而，它也繼承了線性勢流理論的挫折：液體的粘度效應只能簡化為線性阻尼比，而非線性效應不包括在內(nèi)。未來，該方法將擴展到6自由度運動，并應用于實際車輛操作，如制動、轉(zhuǎn)彎和在不平的地面上行駛。

文章來源：Mengmeng Han,Jian Dai,Kok Keng Ang,“Hydrodynamicaspects of moving vehicle with sloshing tanks”，MATECWeb of Conferences 211, 15002 (2018).https://doi.org/10.1051/matecconf/201821115002

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