3)正投影：與之前的投影模型相似，正投影以對(duì)球體的投影開(kāi)始（圖5c）。接下來(lái)是對(duì)該平面的正交投影。因此，正字法投影是由

未投影函數(shù)為

這里是I 2 = R2、C3 = {X∈R3 | Z > 0}和θmax = π/2。這些非投影函數(shù)被定義得很好，如f≥Ⅱu Ⅱ，它是由原始投影（10）強(qiáng)制執(zhí)行的。

4)擴(kuò)展正交模型：擴(kuò)展正交模型[33]，如圖5d所示，通過(guò)釋放投影平面與投影球的正切關(guān)系來(lái)擴(kuò)展經(jīng)典正交模型，允許偏移λ。扭曲投影與方程（10）相同。而失真的和未失真的徑向距離與其逆距離之間的關(guān)系則由

這是在[33]中稍微簡(jiǎn)化的表示，并假設(shè)f和（λ + f）是正的，這完全是實(shí)際的約束。擴(kuò)展的正交法模型與標(biāo)準(zhǔn)正交法模型具有相同的域和共域。

圖5。經(jīng)典的幾何模型。

5)擴(kuò)展等距模型：實(shí)際上，擴(kuò)展的正交圖模型只是一個(gè)從投影到圖像上映射的轉(zhuǎn)換。許多模型可以以與擴(kuò)展的正交法模型相同的方式轉(zhuǎn)換為圖像上的映射。我們只給出了等距模型的一個(gè)例子。

重新排列(4)，使θ = ⅡusⅡ/f替換為(2)，使(2)的焦距為f +λ，得到等距模型的圖像上映射。按照類似的步驟，我們也可以得到逆的結(jié)果。

這在[34]中描述了，盡管沒(méi)有額外的縮放參數(shù)λ。我們也可以遵循上面相同的步驟來(lái)獲得一個(gè)擴(kuò)展的立體模型。這些擴(kuò)展模型的C3、I2和θmax與正交法模型相同。

D. 代數(shù)模型

我們提供了一個(gè)簡(jiǎn)短的討論魚(yú)眼相機(jī)的代數(shù)模型，特別是多項(xiàng)式模型，和二模型。多項(xiàng)式模型的討論，我們提供的完整性，雖然我們集中在幾何模型的其余部分。

1)多項(xiàng)式模型：非魚(yú)眼相機(jī)的經(jīng)典布朗-康拉迪畸變模型[35]，[36]使用一個(gè)奇稱為多項(xiàng)式，ⅡudⅡ = Pn（ⅡuuⅡ），來(lái)描述圖像上的徑向畸變（即映射ⅡuuⅡ到ⅡudⅡ），其中Pn表示一些任意的n階多項(xiàng)式。盡管年代久遠(yuǎn)，但布朗-康雷迪模型是非魚(yú)眼相機(jī)[37]，[38]的軟件實(shí)現(xiàn)中的標(biāo)準(zhǔn)失真模型。為了解釋魚(yú)眼失真，在[18]中提出了一種圖像上的多項(xiàng)式模型，稱為多項(xiàng)式魚(yú)眼變換（PFET）。PFET和布朗-康雷迪模型之間的區(qū)別在于，PFET允許奇數(shù)指數(shù)和偶數(shù)指數(shù)來(lái)解釋在魚(yú)眼相機(jī)中遇到的額外失真。

存在一類多項(xiàng)式魚(yú)眼模型，其中場(chǎng)角到像平面的映射是通過(guò)a

多項(xiàng)式，即QP (θ) = Pn（θ），使用入射角而不是未失真的半徑。例如，坎那拉-勃蘭特[20]（以及在流行的OpenCV軟件[37]中實(shí)現(xiàn)的那樣）提出了一個(gè)n = 5或更多階的多項(xiàng)式模型，只有奇指數(shù)。在[2]中，提出了一個(gè)同時(shí)包含偶指數(shù)和奇指數(shù)的n個(gè)=4多項(xiàng)式。這兩種模型都沒(méi)有在多項(xiàng)式中使用常數(shù)系數(shù)項(xiàng)，因?yàn)檫@樣做會(huì)導(dǎo)致在圖像的中心有一個(gè)未定義的區(qū)域。在[39]中提出了一個(gè)五階多項(xiàng)式，但如果魚(yú)眼半徑和視場(chǎng)已知，則將其簡(jiǎn)化為四個(gè)獨(dú)立參數(shù)。以上這些都可以解釋為等距模型的推廣，這是一個(gè)一階多項(xiàng)式。在這種情況下，投影球被給定多項(xiàng)式定義的曲面所取代。然而，這是迫使一個(gè)幾乎沒(méi)有效用的幾何解釋。

MATLAB計(jì)算機(jī)視覺(jué)工具箱[40]和NVidias驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的SDK [41]包括了在[42]中提供的基于多項(xiàng)式的魚(yú)眼模型的實(shí)現(xiàn)。在這種情況下，多項(xiàng)式被用來(lái)建模投影和非投影，否定了需要一個(gè)數(shù)值方法來(lái)反轉(zhuǎn)投影（這是基于多項(xiàng)式的模型的一個(gè)主要計(jì)算問(wèn)題）。注意，這兩個(gè)多項(xiàng)式并不是相反的，而是兩個(gè)不同的函數(shù)。這些多項(xiàng)式是獨(dú)立校準(zhǔn)的，這可能使它無(wú)法使用的迭代方法，如果多次項(xiàng)目和取消項(xiàng)目點(diǎn)。

2)分割模型：徑向分解的分割模型[17]獲得了一些良好的特性，至少對(duì)于單參數(shù)變體，直線投影到圖像[43]，[44]，[45]，對(duì)于許多鏡頭，單參數(shù)變體的[46]表現(xiàn)很好。該模型及其逆模型由

這在[34]中通過(guò)添加了一個(gè)額外的掃描參數(shù)進(jìn)行了擴(kuò)展，從而提高了某些類型的魚(yú)眼透鏡的建模性能。而劃分模型

最初以圖像上映射表示，它可以表示為投影函數(shù)

將針孔模型(2)代入（16），得到徑向投影函數(shù)Q div(θ)。f，在這種情況下，一旦被分割模型解決了失真，就可以被認(rèn)為是針孔模型的參數(shù)。分割模型的非投影為

投影函數(shù)和圖像上映射具有相同的域，C3 = {X∈R3 | Z > 0}、I 2 = R2和θmax = π/2。

E. 球形模型

基于對(duì)一個(gè)單位球的點(diǎn)（或其仿射基因化）的投影，我們也考慮了一組最近的（至少是過(guò)去幾十年的）魚(yú)眼模型。

1)視場(chǎng)模型：視場(chǎng)模型[19]及其逆模型的定義為

參數(shù)ω近似于相機(jī)的視場(chǎng)，雖然不是完全的[19]。這是一個(gè)圖像上的模型，就像分割模型一樣，其中ⅡuuⅡ和ⅡudⅡ定義了圖像平面上的未扭曲和扭曲的半徑?；蛘撸部梢员槐硎緸橐粋€(gè)投影函數(shù)[23]。

非投影是由

將視場(chǎng)模型表示為投影函數(shù)的一個(gè)很好的結(jié)果是投影πfov (X)的域

覆蓋所有C3 = R3 \（0、0、0）T。相比之下，視場(chǎng)模型的圖像上映射形式僅限于映射C3 = {X∈R3 | Z > 0}中的圖像點(diǎn)，這對(duì)任何圖像上映射都是如此。成像點(diǎn)的集合是I 2 = {u∈R2|ⅡⅡ≤θmax = π。我們將很快證明視場(chǎng)模型是等距模型的等價(jià)物，因此是一個(gè)球形投影。

2)統(tǒng)一相機(jī)模型：UCM最初用于建模散照相機(jī)[21]，后來(lái)被證明在建模魚(yú)眼相機(jī)[47]，[48]。它已被證明在一系列的鏡頭[46]上表現(xiàn)良好。首先，點(diǎn)X被投影到一個(gè)單位球體，然后投影到一個(gè)建模的針孔相機(jī)（圖6a）。我們提出了具有更好的數(shù)值性質(zhì)的版本。

圖6。球形模型。UCM (a)首先是對(duì)單位球體的投影，然后是透視投影。E-UCM用一個(gè)橢球體代替了球面，其系數(shù)為β。DS模型在UCM上增加了第二個(gè)單位的球體投影，球體之間的距離為ξ。

UCM的非投影由