編者按：隨著自動駕駛技術(shù)的不斷發(fā)展，自動駕駛汽車需要處理的工況也越來越復(fù)雜。在極端場景下（如濕滑路面)，車輛在轉(zhuǎn)彎時往往會產(chǎn)生大的側(cè)滑角，嚴(yán)重時甚至?xí)l(fā)生甩尾，容易造成事故傷亡，因此，自動駕駛汽車應(yīng)具有處理高側(cè)滑角不穩(wěn)定情況的能力。通過模仿專業(yè)駕駛員的漂移操作可以為解決車輛的高側(cè)滑角失穩(wěn)提供一種思路。與非專業(yè)駕駛員和常規(guī)控制系統(tǒng)不同，專業(yè)駕駛員可以在保持高側(cè)滑角的同時穩(wěn)定車輛，甚至可以操縱汽車按自己的意圖行駛。因此，通過研究漂移的動力學(xué)機(jī)理以及專業(yè)駕駛員實現(xiàn)漂移操作的方法，建立合適的控制器使自動駕駛車輛在高側(cè)滑角下仍能保持穩(wěn)定性和操縱能力，這將有助于減少因車輛甩尾帶來的事故傷亡。


本文譯自：

《Coordinating Tire Forces to Avoid Obstacles Using Nonlinear ModelPredictive Control》

文章來源：

IEEE Transactions on Intelligent Vehicles

作者：

Matthew Brown and J. Christian Gerdes

原文鏈接：

https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/8910387


摘要：為了安全地在高動態(tài)場景中行駛，自動駕駛汽車必須對環(huán)境的改變作出快速反應(yīng)，并且在輪胎處于附著極限時可以合理地分配輪胎橫縱向力。本文設(shè)計了一種能夠處理上述復(fù)雜工況的非線性模型預(yù)測控制器并進(jìn)行實驗驗證。通過仔細(xì)選擇車輛模型和車輛及障礙物之間的數(shù)學(xué)表達(dá)，本文能夠在保證車輛運動模型的準(zhǔn)確性及其與障礙物保持安全距離的情況下使控制器實現(xiàn)快速計算求解。測試車輛通過變換車道躲避兩個突然出現(xiàn)障礙物，該實驗證實了所提出控制器在危險工況下輪胎力處于附著極限時能夠協(xié)調(diào)輪胎的橫縱向力。

關(guān)鍵詞：自動駕駛汽車，車輛動力學(xué)，避障，非線性模型預(yù)測控制

1 引言

隨著自動駕駛汽車的快速發(fā)展，自動駕駛汽車需要處理大量現(xiàn)實世界場景。為了在復(fù)雜的城市環(huán)境中保證車輛和其他交通參與者的安全，即使在低車速和加速度的情況下，仍有許多具有挑戰(zhàn)性的問題需要克服。此外，自動駕駛汽車還必須能夠處理高車速和加速度下的動態(tài)工況。特別地，自動駕駛汽車還應(yīng)實施突發(fā)和極端行為以避免與其他車輛或目標(biāo)發(fā)生碰撞。在緊急工況下，應(yīng)充分利用車輛的潛力以避免碰撞發(fā)生。

通過將運動規(guī)劃的預(yù)測能力與實時控制的速度和魯棒性相結(jié)合，模型預(yù)測控制（MPC）已成為一種流行的技術(shù)。MPC能夠使車輛在變化的環(huán)境下快速作出反應(yīng)，同時確?，F(xiàn)在采取的行動不會在未來將車輛置于危險狀態(tài)。在每個采樣時刻，模型預(yù)測控制器通過求解最優(yōu)化問題計算得到狀態(tài)和輸入序列。然后將第一個輸入量（或者某個初始輸入序列）作用于系統(tǒng)并在下一個采樣時刻重復(fù)這個過程。MPC控制器通常被定義為跟蹤控制器，其目標(biāo)是在保證如輸入飽和和避免碰撞等約束時遵循期望的狀態(tài)軌跡(由上層規(guī)劃或決策得到)。這些控制器代表了關(guān)于動態(tài)模型，障礙表示和在模型保真度，最優(yōu)性及計算時間之間適當(dāng)權(quán)衡的數(shù)值近似方法的設(shè)計決策集合。

線性或線性時變的MPC已經(jīng)被證明是強(qiáng)調(diào)快速求解下的車輛控制的一種十分有效的方法。通過解決基于線性動力學(xué)模型的凸優(yōu)化問題，控制器可以快速找到近似問題的全局最優(yōu)解。Falcone[1]等人展示了線性MPC作為冰面高速行駛工況下軌跡跟蹤器的有效性，同時在附加約束下保證了車輛的橫擺穩(wěn)定性[2]。相似地，Brown [3]和Funke[4]等人通過約束速度在狀態(tài)空間的安全區(qū)域內(nèi)，這是由Beal和Gerdes[5]定義的，來確保車輛在干燥瀝青路面上的橫擺穩(wěn)定性。模型的預(yù)測能力對于這些任務(wù)是至關(guān)重要的，這確保了當(dāng)下的輸入能夠穩(wěn)定車輛而不會影響其未來的性能。使用線性模型能夠快速實現(xiàn)穩(wěn)定，但是這也限制了控制器能力的發(fā)揮。特別地，車輛橫縱向動力學(xué)以非線性方式耦合，這使得線性MPC同時規(guī)劃橫向和縱向輸入是時遇到挑戰(zhàn)。這在輪胎處于摩擦極限時尤為明顯，并且系統(tǒng)非線性更強(qiáng)并且難以用線性模型近似。

另一種方法是使用非線性車輛模型并解決一個非線性最優(yōu)化問題。這需要犧牲凸優(yōu)化的全局最優(yōu)性和收斂性來換取額外的建模能力。Falcone等人[1]使用非線性MPC（NMPC）計算了雙移線實驗中用于跟蹤路徑的方向盤轉(zhuǎn)角，并且分析了制動力如何影響問題的復(fù)雜性[6]。他們提出一種控制器來模擬每個輪胎上的合力，但是指出模型的復(fù)雜性限制了控制器的實時實現(xiàn)。Liu[7]和Febbo[8]等人研究了避障任務(wù)，每0.5s規(guī)劃一次參考速度曲線。雖然這些算法在復(fù)雜環(huán)境下使用非線性模型，但是較長的求解時間限制了算法對環(huán)境變化的快速反應(yīng)能力。盡管存在上述挑戰(zhàn)，非線性模型仍然具有吸引力，因為其能夠捕獲輪胎橫縱向力的耦合關(guān)系。

其他學(xué)者研究了克服NMPC求解時間過長的方法。Gao等人[9]將直接求解轉(zhuǎn)向和制動指令的方法與分層方法進(jìn)行比較，分層方法首先利用低保真度模型找到無障礙路徑，然后在求解轉(zhuǎn)向和制動指令。他們特別指出，將避障和車輛控制集成在可以實時運行的單一控制器中是具有挑戰(zhàn)的。Frasch等人利用實時迭代的方法研究NMPC的計算時間問題，給出了結(jié)構(gòu)化環(huán)境下車輛在低附路面上避障的仿真結(jié)果[10]。本文選擇在輸入使用之前能夠完全收斂的單級控制器，并通過選擇積分器、變量和重規(guī)劃策略來減少NMPC的求解時間。

避障任務(wù)的關(guān)鍵設(shè)計是車輛和障礙物的表示。橫向位置的簡單邊界易于快速求解，但在建模車輛的轉(zhuǎn)彎運動時受到限制，并且與縱向位置耦合[3],[10]。其他明確考慮到障礙物的距離的方法不受上述缺點的影響，但是需要更長的時間來求解。常用的方法是用多面體集合來表示車輛（或機(jī)器人）與障礙物，并將這些幾何之間的距離合并到目標(biāo)或者約束中去[9],[11],[12]。雖然距離函數(shù)通常是不可微分的，但是可以采用合理的啟發(fā)式方法來解決這個問題。Gerdts等人[13]采用不同的方法，將機(jī)器人和障礙物建模為凸多面體的并集，并調(diào)用Farkas引理將機(jī)器人和障礙物不重疊的約束轉(zhuǎn)化為可處理的數(shù)值優(yōu)化。Zhang等人[14]擴(kuò)展了這一思想，將符號距離的概念包括在內(nèi)，從而能夠計算最小穿透軌跡。該方法允許將機(jī)器人和障礙物建模為多面體，避免了無法可微的有符號距離函數(shù)，但也引入了額外的變量和約束。因為這些內(nèi)容必須添加到每個求解過程，因此它們會導(dǎo)致求解時間的顯著增加。本文用一組圓來表示車輛，類似于Zieglar等人[12]的方法，并通過用另一組圓來表示障礙物來擴(kuò)展這個方法。這種表示方法可以快速計算車輛與障礙物之間有符號距離函數(shù)的值和梯度，并且通過使用多個圓仍然可以捕捉車輛轉(zhuǎn)彎的重要特征。

在緊急情況下，控制器需要迅速工作，充分了解輪胎橫向力和縱向力之間的必要權(quán)衡，并使用可以表征車輛轉(zhuǎn)彎的車輛和障礙物表示法。實現(xiàn)這一點所需的設(shè)計決策，特別是在試驗車輛上，是本文的貢獻(xiàn)。本文提出了一個NMPC控制器來計算車輛轉(zhuǎn)向角和前后輪縱向力。采用單軌動力學(xué)模型和刷子輪胎模型建立車輛動力學(xué)模型，同時考慮穩(wěn)態(tài)時縱向質(zhì)量的轉(zhuǎn)移和由縱向力所引起的橫向力變化。避障通過一種新穎的表示方法進(jìn)行處理，該方法將車輛和障礙物用一組圓表示，并計算所有車輛和障礙物圓對之間的有符號距離。通過選擇總的縱向力和制動偏差作為優(yōu)化變量，減少了待求問題的復(fù)雜性，同時仍使控制器能夠在前后軸之間任意控制制動力。所建立的公式使得控制器能夠足夠快地實時運行，每50毫秒重新規(guī)劃一次，并且足夠復(fù)雜地在車輛極限下工作，在一個或多個輪胎完全飽和的情況下協(xié)調(diào)橫向和縱向力。第二節(jié)描述了所選擇的車輛模型，第三節(jié)解釋了車輛和障礙物的表示，第四節(jié)描述了優(yōu)化問題的表述。第五節(jié)比較了使用不同車輛和障礙物表示時控制器的求解時間，并證明了控制器在全尺寸車輛上的有效性，通過一個足夠極端的工況證明所選模型的復(fù)雜性。在實驗結(jié)果中，兩個障礙物“彈出”到車輛前面，迫使車輛執(zhí)行緊急車道切換。控制器協(xié)調(diào)各軸的制動力和轉(zhuǎn)向力，同時成功避開障礙物。

2 車輛模型

車輛運動可以通過平面單軌模型進(jìn)行預(yù)測，輪胎力來自單個摩擦系數(shù)下的刷子模型。

A.曲線坐標(biāo)系

車輛位置相對于參考線表示。假設(shè)這條線具有連續(xù)的曲率，可以通過積分來計算車輛相對于參考線的航向和位置。雖然這條線可以定義任意的坐標(biāo)系，但在本文中假設(shè)這條線對應(yīng)于道路的中心線。車輛位置由相對航向，縱向位置s和橫向位置e參數(shù)化表示。

B.動力學(xué)方程

單軌自行車模型的示意圖如圖1所示。


圖1 曲線坐標(biāo)系下的單軌車輛模型

車輛的速度變量是橫擺角速度r和質(zhì)心處橫縱向速度ux和uy。

本文感興趣的是明確地模擬每個軸上的橫向和縱向力，車輛前后輪的橫縱向力方程如下：



本文使用適用于低速的簡單阻力模型。在不改變問題結(jié)構(gòu)的情況下，該模型可以包括高速度下的空氣動力學(xué)效應(yīng)。

C.輪胎模型

前后輪胎上的橫向力用輪胎刷子模型近似。該模型表征了側(cè)向力與側(cè)偏角α，輪胎方向與其速度矢量之間夾角的函數(shù)關(guān)系。計算公式如下：



雖然使用組合滑移模型能夠捕捉輪胎縱向力與橫向力之間的相互作用關(guān)系，但是過快的輪速動力學(xué)會使處理縱向滑移變得困難。因此，本文利用摩擦圓（如Hindiyeh[15]所示，源自Pacejka[16]）用最大側(cè)向力Fy來近似組合滑移刷子模型，側(cè)向力的最大值由給定的縱向力和摩擦圓決定。因此，側(cè)向力是側(cè)向滑移角α、縱向力Fx(假定是輸入)、法向載荷Fz以及側(cè)偏剛度Cα和路面附著系數(shù)μ的函數(shù)。



輪胎參數(shù)通過斜坡響應(yīng)確定，其中車輛以恒定的速度ux行駛，δ以固定的速率緩慢增長，辨識結(jié)果如圖2所示。


圖2 輪胎模型辨識結(jié)果

利用測量的r、ux和uy，用(2)和(3)計算測試滑移角。通過測量的r、ux、uy以及穩(wěn)態(tài)假設(shè)，測試力用方程(1)進(jìn)行估計。這形成了一個線性方程組，可以求解Fyf和Fyr。如圖2所示，所建立的模型代表了左右輪胎的集成效應(yīng)，與實驗數(shù)據(jù)非常吻合。

D.質(zhì)量轉(zhuǎn)移

通過假設(shè)靜態(tài)重量分布和在小轉(zhuǎn)角下添加穩(wěn)態(tài)縱向重量轉(zhuǎn)移的影響，對前后輪胎上的法向力建模如下：



其中hcm是車輛質(zhì)心離地高度。此處縱向重量轉(zhuǎn)移模型等效于剛性懸架。雖然真正的汽車結(jié)構(gòu)已經(jīng)包含懸架，但是這種重量轉(zhuǎn)移模型不會引入任何額外的狀態(tài)，并在穩(wěn)態(tài)下是準(zhǔn)確的。關(guān)鍵的是，該模型可以表征制動時Fzf增加帶來的影響，即提高了前軸橫縱向力能夠達(dá)到的極限值。此外，制動降低Fzr，從而降低了后軸橫縱向力的極限值。橫向重量轉(zhuǎn)移沒有明確的模型化，但在近似的單軌模型中，穩(wěn)態(tài)效應(yīng)被集中到輪胎模型中。

選取的車輛模型提供了狀態(tài)變量和輸入變量到狀態(tài)導(dǎo)數(shù)的完整映射：



3 障礙物建模

所提出控制器的一個基本任務(wù)是避障，因此對車輛和障礙物的合理建模非常重要。在規(guī)劃文獻(xiàn)中，通常將車輛或機(jī)器人視為運動空間中的一個點 并在工作空間中進(jìn)行路徑規(guī)劃[17]。通過這種方法，障礙物在更高的維度上被建模從而解決機(jī)器人的轉(zhuǎn)彎、多關(guān)節(jié)等復(fù)雜運動。這對于基于采樣的方法非常有效，在這種方法中，可以將障礙物碰撞視為黑盒并進(jìn)行查詢。然而，由于缺乏障礙物距離或有符號距離的解析表達(dá)式，使得在運動空間中使用數(shù)值優(yōu)化方案進(jìn)行規(guī)劃具有挑戰(zhàn)性。

另一種方法是將車輛視為位置空間中的一個點，并將障礙物放大至車輛尺寸。為了考慮車輛的轉(zhuǎn)彎，障礙物可以進(jìn)一步擴(kuò)大[8]，或者可以根據(jù)運動空間內(nèi)障礙物的線性化進(jìn)行修正[18]。雖然這些近似方法更有利于數(shù)值優(yōu)化，但它們往往會過度放大障礙物使得結(jié)果保守。

將車輛和障礙物建模為全維度比較困難，但可以更精確地處理它們的轉(zhuǎn)彎運動。也許最直接的方法是對機(jī)器人和障礙物之間的有符號距離進(jìn)行數(shù)值線性化，需要特別注意真實有符號距離不可微的情況[11]，[12]。另一種方法是假設(shè)將機(jī)器人用多面體或橢圓表示，并調(diào)用Farkas引理及其對偶條件代替避障約束[13]、[14]、[19]。這種約束是光滑的，可以通過增加變量和約束來進(jìn)行數(shù)值優(yōu)化，這將會大大增加問題的規(guī)模和求解時間。

車輛和障礙物的表示需要能夠精確地反映車輛的大幅度轉(zhuǎn)彎，同時應(yīng)能保證足夠簡單的實時控制。為此，我們用一組共Nv個圓來表示車輛。每個車輛圓Vi（對于i=1…Nv）由半徑和中心參數(shù)化，這取決于車輛的位置和航向。類似地，我們可以用一組共No個圓（用Oj表示）來表示任意障礙物。圖3展示了用兩個圓表示的車輛和用一個圓表示的障礙物。這種表示法可以快速計算任意車輛圓Vi和障礙物Oj之間的有符號距離d。如果所有的車輛-障礙物圓對之間的有符號距離均為正，則表示車輛和障礙物不相交，且不存在模型碰撞。


圖3 車輛-障礙物表示方法

對于任意的兩個圓C1和C2，分別由其在曲線坐標(biāo)系中的位置和半徑進(jìn)行參數(shù)化，即（s1、e1、r1）和（s2、e2、r2），曲線坐標(biāo)系中的有符號距離為:



當(dāng)該距離為正時，表示C1和C2之間的真實距離。如果為負(fù)，則表示C1和C2之間的重疊距離。


圖4 笛卡爾坐標(biāo)系下有符號距離

在曲線空間中，兩個圓之間的有符號距離很容易計算，但在笛卡爾坐標(biāo)空間中則不同。為了分析由曲率引起的（9）的近似誤差，我們將其與笛卡爾坐標(biāo)空間中的有符號距離進(jìn)行比較，如圖4所示。假設(shè)兩個圓足夠接近，參考線的曲率在它們之間保持，角度θ為。用余弦定理可以求出兩個圓心L之間的距離：



根據(jù)小角度假設(shè)，由，這在典型的道路曲率且兩圓足夠靠近時是合適的，從而取近似值。



基于上邊的假設(shè)，在笛卡爾坐標(biāo)系下的有符號距離為：



當(dāng)曲率為零或兩個圓同時位于參考線上時，兩者之間的距離就是圓心距離d1，并且隨著這些參數(shù)變化而平滑變化。雖然 d1 可表示有符號距離，但它會因因子的存在而與笛卡爾距離d2不同，當(dāng)時距離估計偏大。盡管道路的曲率相對于道路的寬度通常非常小，但d2能夠更準(zhǔn)確地模擬距離，尤其是在高曲率道路上。

4 問題建立

控制器反復(fù)求解最優(yōu)控制問題以計算的輸入軌跡，以安全地引導(dǎo)車輛通過場景。它并不去決定應(yīng)該通過每個障礙物的哪一側(cè)以及以什么順序通過或者車輛是否應(yīng)該在某些障礙物之前停下來的組合問題。相反，控制器假設(shè)上層規(guī)劃已經(jīng)給出了一條駕駛通道，由所需的橫向位置和速度軌跡決定。然而，本文強(qiáng)調(diào)，這些期望的軌跡可能非常粗略，僅用于向控制器展示它應(yīng)該探索哪類解決方案?？刂破饔胸?zé)任做出這個粗略的決定并計算一個安全且動態(tài)可行的完整狀態(tài)軌跡。

A.離散化

最優(yōu)化問題通過同步變換方法進(jìn)行離散化。該方法考慮每個離散時間節(jié)點的狀態(tài)和輸入值，并使用數(shù)值積分方法將(8)中的微分方程轉(zhuǎn)換為差分方程，這里假設(shè)采樣步長內(nèi)輸入為常值。

選擇一個足夠復(fù)雜的積分器來準(zhǔn)確地對運動方程進(jìn)行積分是很重要的,但是它也應(yīng)該相對簡單以保證快速求解。一個非常常見的方案是歐拉方法，或前向歐拉法：



另一個方法是顯式二階的龍格庫塔方法，該方法有時也被稱為中點法。



給定積分器的性能取決于時間步長 h和動力學(xué)模型。雖然該方法可以計算誤差界限（如著名的四階龍格庫塔公式的總積累誤差是），但是很難用微分方程的先驗知識來決定可以接受的固定步長。

圖5顯示了對輸入軌跡 以及給定車輛模型(8)與車輛狀態(tài)r和e的不同積分器進(jìn)行積分的結(jié)果。輸入軌跡來自緊急車道變換，這代表激烈的車輛操作，因為狀態(tài)導(dǎo)數(shù)幅值較大并且狀態(tài)在相當(dāng)長的時間內(nèi)處于輪胎模型的飽和區(qū)域。步長為h=0.5 ms的歐拉方法作為基線，步長為 h = 50 ms 的歐拉方法非常不準(zhǔn)確，而對于相同的步長，RK2 表現(xiàn)非常好。此外，對于此模型，RK2 的性能與 RK4 一樣好，但計算量明顯減少。由于這些原因，本文選擇 RK2 作為離散化方法。


圖5 不同離散方法的比較

B.變量轉(zhuǎn)換
在優(yōu)化問題中使用Fxf和Fxr作為縱向輸入變量是合理的，但在給定問題下可能會有更好的選擇。最小化或限制縱向加速度很重要，因此除了 Fxf和Fxr外，需要作為變量，每個階段總共有四個縱向變量。此外，本文希望約束Fxf和Fxr具有相同的符號，以防止驅(qū)動電機(jī)和制動器同時工作。該約束公式如下：



但是該約束中當(dāng)Fxf=0且Fxr=0時是一個鞍點，這是輸入空間中的典型位置。由于該約束的Hessian矩陣不是正定的，所以它導(dǎo)致優(yōu)化問題的拉格朗日Hessian矩陣不是正定的。這破壞了牛頓法的前提，即需要正定的Hessian矩陣。因此，包含此約束不利于求解器的求解速度和穩(wěn)定性。

另一種變量選擇是總縱向力 Fx 和制動分配λbrake。制動分配表示應(yīng)將總縱向力如何分配給前軸和后軸。給定Fx、λbrake和固定驅(qū)動分布λdrive，可以計算Fxf 和 Fxr：



這種變量選擇隱式約束了Fxf 和 Fxr具有相同的符號。此外，控制器可以通過將作為優(yōu)化變量來最小化縱向沖擊。由于制動系統(tǒng)可以比系統(tǒng)中的其他動力學(xué)更快地引導(dǎo)前后軸之間的力，所以我們不需要引入制動。在這個假設(shè)下，問題每個階段只需要三個縱向變量：，比使用Fxf 和 Fxr的公式少一個。

C.代價函數(shù)

控制器的目標(biāo)是粗略地跟蹤期望的橫向位置和縱向速度序列，同時找到一個可行的狀態(tài)軌跡，避免太靠近或碰撞障礙物和道路邊緣。成本函數(shù)是：



其中Qe 和 Qux 是橫向位置誤差和縱向速度誤差的二次權(quán)重，Qδ和QFx是的二次權(quán)重，Qλ是一個小的二次權(quán)重，其使得λbrake接近由λnat表示的典型值。連續(xù)和可微的懲罰函數(shù)pobs 和 pedge在大于某個距離時為零，低于該距離則是一個二次函數(shù)，即



上式表明軌跡僅在車輛與障礙物距離dmin,obs或道路邊緣距離dmin,edge（由 rleft(s)和 rright(s) 表示）時pobs 或 pedge才不為零。此時需要選擇權(quán)值Qdist 來調(diào)整成本函數(shù)；如果路徑上不發(fā)生碰撞，控制器將采用期望不同的橫向位置和縱向速度。

(19)中的切換狀態(tài)不是先驗已知的，可以在求解器根據(jù)需要將計劃的車輛狀態(tài)移近或遠(yuǎn)離障礙物時來進(jìn)行優(yōu)化?？刂破鞯囊粋€隱含功能是確定車輛何時必須靠近某些障礙物附近以避免與其他障礙物發(fā)生直接碰撞，故該信息不會提前收到限制。雖然懲罰函數(shù)是分段定義的，但它是連續(xù)的，并且對于優(yōu)化變量具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，這使其適合數(shù)值優(yōu)化。

增加使用的圓圈數(shù)量（Nv，No）使控制器能夠更準(zhǔn)確地捕捉車輛或障礙物的形狀，例如，在角落放置較小的圓圈以創(chuàng)建更接近矩形的表示。然而，這些更詳細(xì)的表示是有代價的。雖然增加Nv和No不會增加優(yōu)化變量或約束的數(shù)量，但評估(18)的計算成本隨著增加。本文中使用 Nv= 2以表征車輛轉(zhuǎn)彎運動；選擇No=2，每個障礙物用一個圓表示。

D.非線性規(guī)劃和求解

前文使用u來表示模型的輸入，現(xiàn)在定義來表示成本函數(shù)中輸入變量u的最高階導(dǎo)數(shù)，并且我們定義來表示用δ和Fx增強(qiáng)的狀態(tài)。對于本文所提出的問題，和。針對這些變量的非線性問題是：



其中fdis是車輛模型(8)與和之間的一階關(guān)系，用 二階龍格庫塔積分器 (14) 進(jìn)行離散。圖片和 δ有上限和下限，F(xiàn)x有上限，這些構(gòu)成該問題的約束條件。

每個輪胎可用的力不是恒定的，其隨著負(fù)載的變化而發(fā)生變化。一個輪胎的總力可以表示為，這是摩擦圓約束。橫向輪胎模型強(qiáng)制執(zhí)行此約束以限制給定縱向力下的橫向力大小，但還需要約束縱向力。使用(17)計算的Fxf和Fxr都受到由（7）計算得到的和的限制。

用一個附加因子γ表示可作為縱向力的部分占總輪胎力的比例。如果γ = 1，則表示Fxf或Fxr可以使用所有的輪胎力，同時Fyf=0或Fyr=0。由于精確估計摩擦力受到限制，將Fxf和Fxr限制在稍低的γ值是有用的，這使得控制器可以給出最大的橫向力。本文介紹的實驗是在 γ = 0.95 的情況下進(jìn)行的。

優(yōu)化問題求解變量δ、Fx和λbrake，并通過 (17) 轉(zhuǎn)換為δ、Fxf和 Fxr。然后將后者輸入到下級控制器作為要跟蹤的目標(biāo)。優(yōu)化問題的成本函數(shù)權(quán)重和其他參數(shù)如表I所示。該問題通過 FORCES NLP內(nèi)點求解器[20]解決，使用來自 CasADi [21] 的成本函數(shù)和約束來實現(xiàn)自動微分。求解器使用 BFGS [22]逼近(20)的拉格朗日Hessian矩陣，并利用問題的稀疏性來提高求解時間。

表Ⅰ參數(shù)列表


E.重新規(guī)劃

與二次（或其他凸）問題相比，非線性問題需要更多的計算時間。在高動態(tài)工況中，車輛狀態(tài)會發(fā)生顯著變化，因此考慮計算延遲很重要的?？刂破魇褂玫那蠼獠呗匀鐖D 6 所示。假設(shè)控制器已經(jīng)有一個規(guī)劃，或者完整的狀態(tài)和輸入軌跡，它會同時做兩件事。首先，控制器通過將輸入序列δ、Fxf 和Fxr作用于車輛，在接下來的 50 毫秒內(nèi)執(zhí)行該規(guī)劃。測試車輛上的下級控制器每10毫秒接受一次新命令，因此每10毫秒根據(jù)當(dāng)前規(guī)劃進(jìn)行線性插值以找到正確輸入。這種線性插值與積分器的假設(shè)一致，即在當(dāng)前是恒定的。其次，它使用該輸入序列模擬車輛模型，以獲得50毫秒后狀態(tài)的估計，并根據(jù)模擬的初始狀態(tài)開始計算下一時間步長的規(guī)劃軌跡。


圖6 控制器求解策略

規(guī)劃軌跡依賴于其初始狀態(tài)。模擬的初始狀態(tài)永遠(yuǎn)不會與測量的初始狀態(tài)完全匹配，但模型準(zhǔn)確時兩者應(yīng)該是接近的。這使控制器能夠規(guī)劃出到達(dá)計算結(jié)束時均有效的軌跡，而不是僅在計算開始時有效的軌跡。

一種策略是復(fù)制最近一次的規(guī)劃結(jié)果。盡管通常只使用規(guī)劃輸入的前50毫秒結(jié)果，但該方法使計算時間具有魯棒性。如果求解器未能在50ms 的時間限制內(nèi)收斂，控制器可以在計算下一規(guī)劃時繼續(xù)執(zhí)行上一規(guī)劃指令。這在下文的實驗期間發(fā)生過一次。

F.限制

控制器的目標(biāo)是可行域內(nèi)中找到局部最優(yōu)軌跡，而不是在可行域中做出決策。換句話說，控制器依靠上層決策來選擇是通過右側(cè)還是左側(cè)的障礙物。在選定的可行域內(nèi)，控制器解決一個非凸優(yōu)化問題。所使用的內(nèi)點法只能找到局部最優(yōu)解，該方法缺少凸問題收斂的數(shù)學(xué)保證。然而，根據(jù)經(jīng)驗，求解器在多數(shù)條件均可收斂，所得解在仿真和實驗中都有效地控制了車輛。

5 結(jié)果

A.仿真對比

用圓表示車輛和障礙物可以實現(xiàn)實時控制。為了證明這一點，將本文所提出的控制器與除了用矩形表示車輛和障礙物外其他條件相同的控制器進(jìn)行比較。這種表示是準(zhǔn)確的，沒有近似值，但需要在車輛的每一側(cè)和每個障礙物處增加附加變量。對于三個矩形而言，增加的12個變量用于兩個額外的標(biāo)量不等式約束和兩個標(biāo)量等式約束以強(qiáng)制車輛按無碰撞路徑行駛，如 Zhang [14] 所述。

在仿真中，車輛以ux,des=14m/s的速度在直線道路上的右側(cè)車道上行駛。前方一個障礙物擋住了右側(cè)車道，之后15m處的第二個障礙物擋住了左側(cè)車道。模擬中使用的圓形和矩形表示的比例描述如圖3所示。兩個控制器都成功地引導(dǎo)車輛通過車道變換操作避開障礙物。兩個控制器產(chǎn)生相似的控制輸入，但求解時間不同，如表II所示。

表Ⅱ 計算時間對比


矩形（更一般地，多面體）表示允許非常精確地處理車輛和障礙物，但需要過多的計算時間以至于難以實時運行。圓形表示一種可接受的近似處理，其對于實時控制來說足夠簡單。

B.實驗平臺

實驗平臺采用使用學(xué)生制造的電動汽車X1。X1的模型參數(shù)如表Ⅲ所示。機(jī)載NovAtel SPAN-SE導(dǎo)航系統(tǒng)將全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)(GNSS)的測量結(jié)果與來自包含陀螺儀和加速度計慣性測量單元的測量結(jié)果相融合，以提供準(zhǔn)確的車輛質(zhì)心處的位置、速度和加速度估計值，同時也包含了車輛的姿態(tài)和角速度值。


圖7 X1電動汽車

表Ⅲ 車輛模型參數(shù)


控制器在Ubuntu 16.04的傳統(tǒng)機(jī)載計算機(jī)上運行，i7-6700 CPU 以 4.0 GHz 運行。轉(zhuǎn)向角、每個軸上的制動力（映射到制動壓力）和驅(qū)動力（映射到扭矩）指令被傳遞到實時計算機(jī)以進(jìn)行下層控制。選擇成本函數(shù)權(quán)重，如表 I所示，將每項指標(biāo)的合理值統(tǒng)一縮放。例如，50cm的橫向位置誤差、10 deg/s 的轉(zhuǎn)向速率以及位于障礙物最小安全距離10cm內(nèi)的位置都對總成本的貢獻(xiàn)值為 1。

C.實驗

在本次實驗中，測試車輛在直線道路上行駛，保持在車道中間。在車輛的質(zhì)心通過s=180后（圖8中的時間①），出現(xiàn)了兩個障礙物：一個當(dāng)前車道的s=200處，另一個在 對向車道的s=215處。此時，車輛開始緊急變道。時間①-⑤在圖9、10、11和12中用灰色虛線表示。圖13顯示了車輛在時間①-⑤處的俯視圖。


圖8 避障工況示意圖

控制器計算的閉環(huán)輸入如圖9所示。當(dāng)障礙物出現(xiàn)在時間①時，控制器開始向左轉(zhuǎn)向，在受轉(zhuǎn)彎速度的限制下最終達(dá)到車輛的最大轉(zhuǎn)向角18°。同時，控制器立即將Fxr降低到-4kN，這是一個適度的制動力。這樣做的效果是雙重的。首先，制動會減慢車輛的速度，使車輛有更多的時間進(jìn)行橫向加速以避開障礙物，從而使操縱更容易。此外，制動時車輛質(zhì)量轉(zhuǎn)移到車輛前部，從而增加了前軸的橫向力容量?？刂破骼迷黾拥臋M向力控制車輛；圖10（頂部）顯示了在時間①和時間 ②之間增加的橫向力及其極限。

相反，圖10中所示的后軸橫向力在時間①之后容量降低，這既是由于制動時重量從后軸轉(zhuǎn)移到前軸，又由于施加的縱向力(4)所導(dǎo)致的最大橫向力降低。當(dāng)障礙物出現(xiàn)在時間①時，前軸上所有可用的力都需要用于轉(zhuǎn)彎，但后軸可以自由制動，直到車輛轉(zhuǎn)彎至需要后軸橫向力為止?？刂破髂軌蚴褂们拜S上所有可用的摩擦力來轉(zhuǎn)動車輛，同時仍然在幾百毫秒內(nèi)制動后軸，其他情況則不需要制動。在時間 ②，控制器開始制動前軸（圖9中間位置）并放松后軸制動器，將Fxr增加到零（圖9下部）。前軸輪胎力在時間②時飽和，前軸制動力的增加意味著前軸橫向力的減少，如圖 10（頂部）所示。


圖9 輸入變量變化曲線


圖10 橫向力（黑色）及其峰值曲線（紅色）

到時間③時，F(xiàn)xf已接近其最小值，只為Fyf留下少許力容量。此時，車輛已經(jīng)足以避開第一個障礙物，這將允許控制器給前軸提供一定的制動時間。由于后軸需要大量橫向力來穩(wěn)定和轉(zhuǎn)彎車輛，故大約在時間③時，控制器無法制動后軸。到了時間④時，情況發(fā)生了逆轉(zhuǎn)：車輛需要向右變道并產(chǎn)生較大的反向力以避免偏離道路，因此將前制動力降低到幾乎為零。同時，有一段短暫的時間，用于穩(wěn)定的后輪胎橫向力從正轉(zhuǎn)變?yōu)樨?fù)；控制器利用這段短暫的時間來制動后軸。

在時間④時，車輛接近第一個障礙物。每個車輛圓和每個障礙物圓之間以及每個車輛圓和道路邊緣之間的最小距離如圖 11 所示?？刂破餍枰刂栖囕v進(jìn)行足夠轉(zhuǎn)向以避免偏離道路或撞到第二個障礙物，但不要太度因為此時車輛過于靠近第一個障礙物。就在時間⑤之前進(jìn)行了類似的權(quán)衡，其中控制器減小了轉(zhuǎn)向角（圖9頂部），導(dǎo)致負(fù)Fyf使車輛遠(yuǎn)離第二個障礙物，但不會太大以至于車輛無法留在道路上。

很明顯，控制器在橫向力和縱向力之間進(jìn)行了很大的權(quán)衡，在可能和必要時減慢車輛以完成雙車道變換。車輛的縱向速度變化如圖12所示?？刂破髂軌蛟?秒多一點的時間內(nèi)將車輛從約17.5m/s減速到約8.5m/s。盡管速度大幅降低，但當(dāng)車輛通過第二個障礙物時，前后軸在時間⑤附近都達(dá)到飽和。如果車輛按照初始速度17.5m/s運動，將不可避免地撞上某一個障礙物或者沖出道路。此外，由于控制器非常依賴于在前軸和后軸之間的制動力分配，因此人類駕駛員很難或可能不可能使用單個制動踏板在不發(fā)生碰撞的情況下完成此操作。


圖11 車輛圓與障礙物圓和道路邊緣之間的最小距離


圖12 縱向速度變化


圖13 車輛運動的俯視圖

6 結(jié)論

在本文中，我們提出了一種非線性模型預(yù)測控制器，能夠產(chǎn)生轉(zhuǎn)向角和前后縱向力，以安全地引導(dǎo)車輛越過潛在危險。選擇車輛模型、積分器以及車輛和障礙物的表示方法以實現(xiàn)快速計算，從而使車輛能夠?qū)Νh(huán)境變化作出快速反應(yīng)。車輛和障礙物的詳細(xì)表示可以表示車輛受潛在碰撞的影響，并使控制器能夠推理出轉(zhuǎn)彎時車輛的縱向和橫向位置。車輛和輪胎模型捕捉車輛的動力學(xué)，并將橫向力和縱向力之間的耦合關(guān)系通知控制器。測試車輛執(zhí)行緊急雙車道變換的實驗結(jié)果證明了控制器能夠平衡前后軸的橫縱向力以實現(xiàn)避障功能。


參考文獻(xiàn)