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汽車可靠性試驗(yàn)中的置信度概念
2022-01-09 21:15:40· 來源：模態(tài)空間 作者：王朋波
01、概述在汽車開發(fā)過程中，需要進(jìn)行整車及部件的可靠性試驗(yàn)。所謂可靠性，指的是零件或系統(tǒng)在在規(guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間內(nèi)，完成（或保持）規(guī)定功能的能力?？煽啃?/div>
01、概述
在汽車開發(fā)過程中，需要進(jìn)行整車及部件的可靠性試驗(yàn)。所謂可靠性，指的是零件或系統(tǒng)在在規(guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間內(nèi)，完成（或保持）規(guī)定功能的能力。
可靠性試驗(yàn)中經(jīng)常遇到的一個(gè)問題是，如何在樣本容量和試驗(yàn)時(shí)間（試驗(yàn)成本）之間進(jìn)行平衡。即便是同種零件，它們之間仍然不會完全一致。我們無法對所有的零件都進(jìn)行試驗(yàn)，只能從總體中抽取出一定容量的樣本進(jìn)行測試。為了從有限容量樣本的信息中提取出總體參數(shù)，需要使用統(tǒng)計(jì)學(xué)領(lǐng)域的一些理論。
利用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法進(jìn)行總體估計(jì)通常有兩種方法。一種叫做點(diǎn)估計(jì)，即使用單個(gè)數(shù)值來表示總體參數(shù)的估計(jì)值。另一種叫做區(qū)間估計(jì)，即利用樣本數(shù)據(jù)來確定總體參數(shù)的一個(gè)估值區(qū)間，這個(gè)區(qū)間叫做置信區(qū)間，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率就叫做置信度。
汽車行業(yè)常用的可靠性指標(biāo)有平均壽命、可靠度、故障率等等。平均壽命是最常見的指標(biāo)，它是一種總體均值；故障率則是一種總體比例。我們也經(jīng)常用可靠度的概念來量化零件或系統(tǒng)的可靠性，可靠度指的是零件或系統(tǒng)在規(guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間里能完成規(guī)定功能的概率，一般用 來表示?？煽慷? 通常隨時(shí)間遞減，將時(shí)間 作為變量，則有可靠度函數(shù) 。
如果我們要根據(jù)樣本的平均壽命和可靠度來估算總體的平均壽命和可靠度，就需要與置信度建立關(guān)聯(lián)。
02、抽樣分布與總體參數(shù)估計(jì)
我們通常關(guān)心的是總體參數(shù)，例如總體的均值、方差和比例等等。但是可靠性試驗(yàn)不可能覆蓋所有的零件，只能從總體 個(gè)零件中抽取 個(gè)零件作為樣本，利用樣本提供的信息來推斷總體特征。重復(fù)選取容量為 的樣本時(shí)，由每一個(gè)樣本算出的統(tǒng)計(jì)量數(shù)值的概率分布，稱為樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布。
從均值為 μ 、方差為 σ 的正態(tài)或非正態(tài)總體中，抽取樣本量為 的隨機(jī)樣本，當(dāng) 充分大時(shí)（通常要求大于30），樣本均值 的分布近似服從數(shù)學(xué)期望為 μ ，方差為 σ 的正態(tài)分布。這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中著名的中心極限定理，可表示為下式
μσ 需要注意的是，如果總體不是正態(tài)分布，當(dāng) 為小樣本時(shí)，樣本均值并不服從正態(tài)分布。
在研究總體特征時(shí)，不僅有均值估計(jì)，也有比例估計(jì)，即用樣本比例計(jì)算總體比例。所謂比例，指的是總體（或樣本）具有某種屬性的零件數(shù)目與總體（或樣本）所有零件數(shù)目之比?？煽慷戎傅氖窃谝?guī)定條件下和規(guī)定時(shí)間里能夠完成規(guī)定功能的零件在總體所有零件中的占比，所以可靠度實(shí)質(zhì)也是一種比例。
樣本比例所有可能取值的概率分布就叫做樣本比例的抽樣分布。當(dāng)樣本量足夠大時(shí)（對于樣本比例 ，當(dāng) 大于5，即可認(rèn)為樣本量足夠大），樣本比例f的抽樣分布可近似為正態(tài)分布。樣本比例f的數(shù)學(xué)期望就等于總體比例 π ， 的方差為 σππ 。即
πππ
03、區(qū)間估計(jì)與置信度
我們用樣本統(tǒng)計(jì)量去估算總體參數(shù)，例如用樣本均值去估算總體均值，用樣本比例去估算總體比例，用樣本方差去估算總體方差，通常用樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差來給出總體參數(shù)的一個(gè)估值范圍，這就叫做總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。
我們以總體均值的區(qū)間估計(jì)為例來討論。對于樣本量足夠大的隨機(jī)樣本，樣本均值 的數(shù)學(xué)期望為總體均值 μ ，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為 σσ ，服從正態(tài)分布，如圖1。根據(jù)正態(tài)分布的基本特征可得出 落在 μ 兩側(cè)任何倍數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差范圍內(nèi)的概率。例如， 落在 μ 兩側(cè)各 σ 范圍內(nèi)的概率為95.45%。
圖1 樣本均值的正態(tài)分布
實(shí)際操作時(shí)情況恰好相反，我們知道 但不知道 μ 。好在 和 μ 的距離對稱，如果 落在 μ 兩側(cè)各 σ 范圍內(nèi)，則 μ 也就落在 兩側(cè)各 σ 范圍內(nèi)。也就是說，用樣本均值構(gòu)造的兩側(cè)各 σ 的區(qū)間中（可以有無窮多個(gè)樣本均值，構(gòu)造出無窮多個(gè)區(qū)間），有95.45%的區(qū)間是包含總體均值的，其它區(qū)間不包含總體均值。
圖2 總體均值區(qū)間估計(jì)示意
這樣我們就得到了置信區(qū)間和置信度的定義：
-
由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，稱為置信區(qū)間，區(qū)間的最小值和最大值分別叫做置信下限和置信上限。
-
重復(fù)多次構(gòu)造置信區(qū)間，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率，稱為置信度，也叫做置信水平。
-
置信水平一般用 來表示，其中 叫做顯著性水平。例如置信水平為90%時(shí)，顯著性水平 。
04、假設(shè)檢驗(yàn)與顯著水平
我們在進(jìn)行可靠性試驗(yàn)時(shí)，不僅要對總體特征進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，有時(shí)還需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。所謂假設(shè)檢驗(yàn)，就是首先提出一個(gè)對總體參數(shù)的假設(shè)，然后根據(jù)樣本觀察值對這個(gè)假設(shè)進(jìn)行判斷，決定是接受還是拒絕原假設(shè)。
例如某種零件的技術(shù)指標(biāo)要求其平均壽命達(dá)到100小時(shí)（原假設(shè)）。我們隨機(jī)抽取一批零件構(gòu)造一個(gè)樣本，壽命測試發(fā)現(xiàn)樣本每個(gè)零件的壽命都不到10小時(shí)，與指標(biāo)要求相距太遠(yuǎn)，就認(rèn)為該種零件壽命未達(dá)到指標(biāo)要求（即拒絕原假設(shè)）。
假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是統(tǒng)計(jì)學(xué)的小概率反證法，即認(rèn)為小概率事件在一次試驗(yàn)中不應(yīng)當(dāng)發(fā)生。因此首先假定原假設(shè) 成立，然后基于此假定來計(jì)算出現(xiàn)當(dāng)前樣本觀察值的概率是多少。如果計(jì)算出的概率很小，就認(rèn)為出現(xiàn)了小概率事件，因此拒絕原假設(shè) 。
在上面的關(guān)于零件平均壽命的例子中，我們拒絕了原假設(shè)。實(shí)際上也有存著這么一種可能：零件總體平均壽命已經(jīng)達(dá)到100小時(shí)，只是我們湊巧選取了壽命最低的那一批零件作為樣本，因此樣本中各零件的壽命都不到10小時(shí)，導(dǎo)致我們做出了錯誤的判斷。
我們是依據(jù)一個(gè)樣本做出的判斷，在 為真時(shí)，我們?nèi)匀豢赡茏龀鼍芙^ 的判斷，這叫做棄真錯誤。出現(xiàn)棄真錯誤的概率表示為
拒絕為真
我們無法完全排除棄真錯誤，但是我們會要求將犯錯概率控制在一個(gè)很小的數(shù)值 之內(nèi)，即
拒絕為真
上式中的 為顯著性水平， 就是我們做出的拒絕 這個(gè)判斷的置信度。
指定了顯著性水平 ，就意味著出現(xiàn)棄真錯誤的概率最大為 ，這樣我們可以計(jì)算出一個(gè)觀察值（檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量）的取值區(qū)間，當(dāng)觀察值在這個(gè)區(qū)間內(nèi)時(shí)，我們就拒絕原假設(shè)。這個(gè)取值區(qū)間叫做拒絕域。有關(guān)拒絕域的詳細(xì)講解可參考數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域的資料，本文不再贅述。
我們不僅可以根據(jù)拒絕域進(jìn)行決策，也可以利用 值進(jìn)行決策。式(4)中的 值可以理解為當(dāng)原假設(shè)正確時(shí)，得到所觀測數(shù)據(jù)的概率。我們計(jì)算出 值，然后跟顯著性水平 進(jìn)行比較，當(dāng) ，即拒絕原假設(shè) ，否則就不拒絕原假設(shè) 。
利用拒絕域進(jìn)行決策，我們只是確認(rèn)了犯棄真錯誤的概率小于 ，但并未確認(rèn)犯錯的概率究竟有多少，而 值則給出了我們犯錯的實(shí)際概率。因此 值方法目前基本上取代了傳統(tǒng)的拒絕域方法。
05、零件可靠度的二項(xiàng)檢驗(yàn)法
我們在驗(yàn)證零件的可靠度時(shí)，就是利用 值進(jìn)行決策。零件的可靠度檢驗(yàn)經(jīng)常采用二項(xiàng)檢驗(yàn)法，每個(gè)零件只有“成功/失效”兩種檢驗(yàn)結(jié)果，零件達(dá)到了最低指標(biāo)要求就是成功的，否則就是失效的。
如果零件的可靠度為 ，一共檢驗(yàn)了 個(gè)零件。則指定的 個(gè)零件失效，其它 個(gè)零件成功的概率為 ?？紤]到這樣的指定方式共有 種，則可知試驗(yàn)中出現(xiàn) 個(gè)零件失效的概率為
進(jìn)一步可知試驗(yàn)中出現(xiàn)的零件失效數(shù)目 的概率為
我們設(shè)定一個(gè)假設(shè) ：零件的可靠度 。我們認(rèn)為在可靠度小于 的條件下，不應(yīng)該只有 個(gè)零件失效，因此試圖否定原假設(shè) 。
如果假設(shè) 為真，即零件的可靠度 ，則根據(jù)式（6）可知，零件失敗數(shù)目 的概率即我們犯棄真錯誤的概率為
對于預(yù)先指定的顯著性水平 或置信度 ，只要滿足
則必然有 ，我們就可以拒絕原假設(shè)，即得出零件的可靠度 的結(jié)論。
對于沒有發(fā)生失效 的特殊情況，式（8）變?yōu)?/span>
如果我們要驗(yàn)證置信度為 時(shí)某種零件是否具有R可靠性，可以根據(jù)式（9）計(jì)算無失效時(shí)的樣本容量 。我們抽取了 個(gè)零件都未發(fā)生失效，才可認(rèn)為該種零件在置信度為 時(shí)具有 可靠性。
06、小結(jié)
1)在可靠性試驗(yàn)中，我們關(guān)心零件或系統(tǒng)的總體參數(shù)，但是可靠性試驗(yàn)不可能覆蓋所有的零件，只能從總體 個(gè)零件中抽取 個(gè)零件作為樣本，利用樣本提供的信息來推斷總體特征。
2)通常用樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差來給出總體參數(shù)的一個(gè)估值范圍，這就叫做總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，稱為置信區(qū)間。
3)重復(fù)多次構(gòu)造置信區(qū)間，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率，稱為置信度，也叫做置信水平。置信水平一般用 來表示，其中 叫做顯著性水平。
4)我們在進(jìn)行可靠性試驗(yàn)，有時(shí)需要進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。所謂假設(shè)檢驗(yàn)，就是首先提出一個(gè)對總體參數(shù)的假設(shè)，然后根據(jù)樣本觀察值對中這個(gè)假設(shè)進(jìn)行判斷，決定是接受還是拒絕原假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想是統(tǒng)計(jì)學(xué)的小概率反證法。
5)對于假設(shè)檢驗(yàn)，顯著性水平和置信水平的定義略有變化。此時(shí)顯著性水平指的是在原假設(shè)為真時(shí)，我們作出了拒絕原假設(shè)判斷的概率的預(yù)設(shè)上限值。即棄真錯誤概率預(yù)設(shè)上限。
6)對于假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果，我們不僅可以根據(jù)拒絕域進(jìn)行決策，也可以利用P值進(jìn)行決策。P值方法能夠給出犯錯實(shí)際概率，目前基本上取代了傳統(tǒng)的拒絕域方法。
7)零件的可靠度檢驗(yàn)一般采用二項(xiàng)檢驗(yàn)法，零件的檢驗(yàn)結(jié)果服從二項(xiàng)分布，我們可以建立可靠度、樣本容量、置信水平和失效次數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。
作者簡介
王朋波，清華大學(xué)力學(xué)博士，汽車結(jié)構(gòu)CAE分析專家。重慶市科協(xié)成員、《計(jì)算機(jī)輔助工程》期刊審稿人、交通運(yùn)輸部項(xiàng)目評審專家。專業(yè)領(lǐng)域?yàn)檎嚻谀途?NVH/碰撞安全性能開發(fā)與仿真計(jì)算，車體結(jié)構(gòu)優(yōu)化與輕量化，CAE分析流程自動化等。
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