近年來，無人駕駛技術(shù)越來越成熟，車輛行駛控制作為無人駕駛的關(guān)鍵技術(shù)之一，吸引了眾多國內(nèi)外專家學(xué)者的關(guān)注。行駛控制是智能車輛研究領(lǐng)域中的核心問題之一，指根據(jù)當(dāng)前周圍環(huán)境和車體位移、姿態(tài)、車速等信息按照一定的邏輯做出決策，并分別向油門、制動及轉(zhuǎn)向等執(zhí)行系統(tǒng)發(fā)出控制指令。智能汽車的行駛控制主要包括縱向控制和橫向控制?？v向控制是指調(diào)整車速使車輛間保持足夠的空間，使用最少的制動保持相對恒定的車速，并在緊急情況下盡可能快的制動；橫向控制是指路徑跟蹤，即通過自動轉(zhuǎn)向控制使車輛始終沿著期望路徑行駛，同時保證車輛的行駛安全性和乘坐舒適性。

由于汽車是一個強耦合變參數(shù)的非線性系統(tǒng)，汽車的縱向運動和橫向運動存在很強的耦合關(guān)系，耦合效應(yīng)包含3類：運動學(xué)耦合、輪胎力耦合以及載荷轉(zhuǎn)移耦合。對于運動學(xué)耦合效應(yīng)，例如轉(zhuǎn)向輪的側(cè)偏力，實際在縱向有一個分量，從而影響縱向加速度，又如橫向離心力是縱向速度和曲率的函數(shù)；輪胎的側(cè)偏力與縱向力也是相互耦合的，對于給定的輪胎路面摩擦系數(shù)，作用在每個輪胎上的側(cè)向力和縱向力相互限制，使合力不會超過附著極限；載荷轉(zhuǎn)移也有顯著的耦合效應(yīng)，當(dāng)載荷轉(zhuǎn)移是由縱向加速度引起時，前后輪胎的垂直載荷重新分配將對橫向動力學(xué)產(chǎn)生很大的影響。

考慮到這些復(fù)雜的非線性和不確定性因素，Rajamani在《Vehicle dynamics and control》一書中指出，必須采用前饋+反饋的控制結(jié)構(gòu)才能保證車輛橫向控制的效果，其中，前饋控制能夠給方向盤提供一個可快速響應(yīng)的控制輸入，抑制系統(tǒng)靜差；反饋控制利用跟蹤誤差反饋減小模型誤差、道路曲率對控制精度的影響。因此，本文主要介紹了車輛橫向動力學(xué)前饋控制的五種常用方法，并給出了其數(shù)學(xué)模型與推導(dǎo)過程。

1.自適應(yīng)前饋控制

根據(jù)公眾號文章：車輛二自由度動力學(xué)模型建模及其離散化應(yīng)用和一種面向二自由度動力學(xué)模型應(yīng)用的控制器和觀測器設(shè)計迭代方法可得車輛橫向二自由度動力學(xué)模型，并將其寫成狀態(tài)空間的形式為

其中，系統(tǒng)矩陣為

假設(shè)系統(tǒng)的控制輸入由前饋和反饋組成：

代入可得

其中

假設(shè)前饋控制器能讓de1的前饋偏差為0，可得：

則控制器的前饋為

此時，代入前饋后的系統(tǒng)為

其中，

由此可見，引入前饋后，系統(tǒng)的干擾增益矩陣發(fā)生變化，系統(tǒng)的抗干擾性能得到改善。在此模型基礎(chǔ)上，所設(shè)計的反饋控制系統(tǒng)性能將更優(yōu)。

2.基于拉氏變換和終值定理的前饋控制

在狀態(tài)反饋u=-Kx的作用下，用于閉環(huán)側(cè)向控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型可表示為

由于

項的存在，當(dāng)車輛在彎道行駛時，即使矩陣趨于穩(wěn)定，跟蹤誤差也不會完全收斂到0。

很自然的想到，假設(shè)轉(zhuǎn)向盤控制器可由狀態(tài)反饋加上前饋得到，以試圖補償?shù)缆非?/span>

閉環(huán)系統(tǒng)可以表示為

采用Laplace變換，假設(shè)為0初始狀態(tài)，可得到

如果車輛在路面上以恒定速度vx和恒定轉(zhuǎn)彎半徑R行駛，那么

它的Laplace變換為

。同樣，如果前饋是常值，那么它的Laplace變換為

。

利用終值定理，穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差可表示為

則穩(wěn)態(tài)誤差為

通過上式可以看出側(cè)向位置誤差e1可以通過合理選擇前饋值

而被置為0。然而上式所示，

不影響穩(wěn)態(tài)偏航誤差。不論前饋轉(zhuǎn)角如何選擇，方向角誤差總存在不可修正的穩(wěn)態(tài)項。穩(wěn)態(tài)方向盤誤差為

如果選擇前饋轉(zhuǎn)角為以下值，穩(wěn)態(tài)側(cè)向位置誤差可以為0：

可近似看作

其中

以及

3.基于二自由度模型橫擺穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性的前饋控制

二自由度汽車運動微分方程式為

汽車穩(wěn)態(tài)時橫擺角速度wr為定值，此時

以此代入上式得：

將兩個式子聯(lián)立并消去vy，可得橫擺穩(wěn)態(tài)角速度增益為

通過

可以得到

4.基于駕駛員預(yù)瞄模型的前饋控制

車輛二自由度模型

其中，

如下圖所示，假設(shè)車輛沿著一個期望的半徑為R的圓周軌跡穩(wěn)態(tài)行駛，預(yù)瞄距離為d，e為預(yù)瞄橫向偏差，h為預(yù)瞄點到轉(zhuǎn)向中心的距離。根據(jù)車輛二自由度模型，可以得到車輛的穩(wěn)態(tài)行駛狀態(tài)滿足下列方程

圖1 車輛穩(wěn)態(tài)圓周運動時的預(yù)瞄跟隨示意圖

可以得到車輛的穩(wěn)態(tài)行駛狀態(tài)滿足下列方程

其中，

為穩(wěn)態(tài)行駛時的前輪轉(zhuǎn)角，下標(biāo)s代表車輛穩(wěn)態(tài)行駛時的狀態(tài)量。根據(jù)車輛穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

可得

可見，車輛穩(wěn)態(tài)行駛的側(cè)向速度可以表示成橫擺角速度與縱向車速的函數(shù)。根據(jù)車輛穩(wěn)態(tài)圓周運動可得

根據(jù)以上兩式可得

可得前輪轉(zhuǎn)角輸入與穩(wěn)態(tài)橫擺角速度的關(guān)系

其中，

為穩(wěn)定性因數(shù)或不足轉(zhuǎn)向系數(shù)。則穩(wěn)態(tài)行駛的前輪轉(zhuǎn)角為

預(yù)瞄點到穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)中心的距離為

可得

則橫向預(yù)瞄偏差為

因此，期望的前輪轉(zhuǎn)角與橫向預(yù)瞄偏差之間的映射關(guān)系為

利用上述映射關(guān)系根據(jù)橫向預(yù)瞄偏差可直接求得最優(yōu)的前輪轉(zhuǎn)角，因此，該關(guān)系式也被稱為基于單點預(yù)瞄理論的最優(yōu)轉(zhuǎn)角前饋控制。由于該關(guān)系式較為復(fù)雜，一般用其簡化形式。首先，已知條件

則根據(jù)泰勒公式可得

則上述映射關(guān)系式可簡化為

由上式可得，前饋與橫向預(yù)瞄偏差成一定比例，但是該比例因子是一個非常復(fù)雜的動態(tài)變化的系數(shù)。

5.基于閉環(huán)系統(tǒng)平衡點的前饋控制

橫向控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

在狀態(tài)反饋與前饋作用，下系統(tǒng)的輸入為

用于閉環(huán)橫向控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為

求狀態(tài)空間的平衡點令

，得

由于狀態(tài)輸出橫向誤差e1可測，得

6.仿真分析

以上描述的前饋控制方法受道路曲率和橫向誤差的總結(jié)如下所示：

表1. 前饋控制影響因素關(guān)系表

仿真基于LQR控制器反饋控制，此處對所介紹的五種前饋控制方法進行分析驗證，在不同前饋控制方法下，車輛距離車道中心線的橫向誤差如下圖所示。通過仿真結(jié)果可以看到，帶有前饋控制的車道保持橫向誤差有明顯的減小，不同的前饋方法有不同的優(yōu)勢，在左轉(zhuǎn)彎的彎道下，駕駛員模型前饋控制方法的橫向誤差最小，在左右彎道變換時，基于閉環(huán)系統(tǒng)的平衡點前饋控制方法效果較好，橫向誤差波動小。

圖2 無前饋時的橫向誤差

圖3 自適應(yīng)前饋控制的橫向誤差

圖4 基于拉普拉斯變換前饋控制的橫向誤差

圖5 基于二自由度模型前饋控制的橫向誤差

圖6 應(yīng)用駕駛員模型前饋控制時的橫向誤差

圖7 基于閉環(huán)系統(tǒng)平衡點的前饋控制的橫向誤差