在多個領(lǐng)域，為了避免共振都需要清楚地知道結(jié)構(gòu)的固有頻率。如果外界的激勵頻率接近或等于結(jié)構(gòu)的固有頻率，那么，結(jié)構(gòu)將發(fā)生共振現(xiàn)象，對于絕大多數(shù)應(yīng)用來說，這都是有害的，需要避免。因此，清楚地知道結(jié)構(gòu)或部件的固有頻率是非常有必要的，那如何測量固有頻率呢？

01定義

結(jié)構(gòu)或部件在受到外界激勵產(chǎn)生振動響應(yīng)時，將按特定頻率發(fā)生自然振動，這個特定的頻率被稱為結(jié)構(gòu)或部件的固有頻率，通常一個結(jié)構(gòu)或部件有多階固有頻率。固有頻率與外界激勵沒有關(guān)系，是結(jié)構(gòu)的一種固有屬性。不管外界有沒有對結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵，結(jié)構(gòu)的固有頻率都是存在的，只是當(dāng)外界激勵結(jié)構(gòu)時，結(jié)構(gòu)是按某一階或某幾階固有頻率產(chǎn)生振動響應(yīng)。這時，我們說結(jié)構(gòu)或部件的這一階或這幾階（模態(tài)）參與響應(yīng)。也可以這樣理解，烹飪時，做的每一盤佳肴都是取有限數(shù)目的食材，而實際的食材數(shù)目可以說是無窮多的。只是這些有限數(shù)目的食材參與了這道佳肴。
對于無阻尼單自由系統(tǒng)而言，如圖1所示，固有頻率計算公式定義如下：  

圖1 無阻尼單自由度系統(tǒng)

單位為Hz，表示一秒鐘振動循環(huán)次數(shù)。也可以用圓頻率（也稱角頻率）來表示固有頻率，公式如下：

單位為rad/s。在這考慮的是無阻尼的情況，因此，獲得的固有頻率為無阻尼固有頻率。 對于一般性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，如圖2所示，都是有阻尼的，因此它的固有頻率為有阻尼固有頻率。無阻尼固有頻率與有阻尼固有頻率的關(guān)系如下：

圖2 有阻尼單自由度系統(tǒng)

假設(shè)阻尼比ξ=10%，則ωd=0.99499ωn，因此，阻尼對結(jié)構(gòu)的固有頻率影響有限，更何況現(xiàn)實世界中，除了含有主動阻尼機制的結(jié)構(gòu)外，如減振器，一般結(jié)構(gòu)的阻尼比都遠(yuǎn)小于10%。通常現(xiàn)實世界中測試所得到的固有頻率都是有阻尼固有頻率。以下沒有特殊說明時，都是指有阻尼固有頻率。

固有頻率是結(jié)構(gòu)或部件模態(tài)參數(shù)（固有頻率、阻尼和模態(tài)振型）之一，因此，幾階固有頻率實旨上是指幾階模態(tài)。

02影響因素

從上面的公式，可以看出，結(jié)構(gòu)或部件的固有頻率只受剛度分布和質(zhì)量分布（注意，這里說的是剛度分布與質(zhì)量分布，而不是剛度與質(zhì)量，這是因為現(xiàn)實世界的結(jié)構(gòu)或部件都是一個彈性體或連續(xù)體，有多階固有頻率，而不是一個單自由度系統(tǒng)）的影響，而阻尼對固有頻率的影響非常有限。其他的參數(shù)會影響固有頻率，但最終都是通過影響這兩個參數(shù)來影響固有頻率的。譬如，材質(zhì)不同、材料屬性（密度、楊氏模量和泊松比等）不同、幾何尺寸不同、邊界條件不同等等，最終影響的參數(shù)都是質(zhì)量分布和剛度分布這兩個參數(shù)。因此，影響固有頻率的只有質(zhì)量分布和剛度分布，而非其他任何參數(shù)。 質(zhì)量增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率必然降低；剛度增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率必然增大。但是剛度繼續(xù)增大，固有頻率不會無限增大，只會使固有頻率增大一定距離。剛度增加越快，固有頻率移動越慢。這是因為結(jié)構(gòu)的共振峰對應(yīng)的是固有頻率，剛度增大后，結(jié)構(gòu)的固有頻率會向上移動靠近反共振峰，在《什么是動剛度？》一文中曾講到，反共振峰對應(yīng)的剛度是無限大的。因此，剛度無限增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率向上移動不超過反共振峰對應(yīng)的頻率，所以剛度增大只能使固有頻率移動一定距離，如圖3所示。

圖3  剛度增大只能使固有頻率移動一定距離

03為什么有多階

在對結(jié)構(gòu)或部件進(jìn)行固有頻率測量時，通常能得到多階固有頻率，如圖4所示。在這個FRF圖中存在多個峰值，而每個峰值至少對應(yīng)一階固有頻率，因此，結(jié)構(gòu)存在多階固有頻率。那么，為什么結(jié)構(gòu)存在多階固有頻率呢？

圖4  某結(jié)構(gòu)的FRF
在高中物理課本中，我們曾學(xué)習(xí)過彈簧-集中質(zhì)量的單自由度系統(tǒng)的固有頻率公式。如圖圖5左側(cè)所示。其運動方程為Asinωt（簡諧運動），對應(yīng)一階固有頻率。對于兩自由度系統(tǒng)而言，如圖5中圖所示，運動方程是兩個正弦波的疊加，因而，對應(yīng)兩階固有頻率。同樣的道理，三自由度系統(tǒng)對應(yīng)三個正弦波，因而，有三階固有頻率。

圖5  從左到右：單自由度系統(tǒng)，兩自由度系統(tǒng)和三自由度系統(tǒng)
因此，“階”與自由度相對應(yīng)：1個自由度對應(yīng)1階固有頻率（或者是1階模態(tài)）。自由度是指用于確定結(jié)構(gòu)在空間運動所需要的最少的、獨立的坐標(biāo)個數(shù)。質(zhì)點有三個平動自由度；剛體有六個自由度，分別為三個平動和三個轉(zhuǎn)動自由度。 一個連續(xù)體或彈性體實際上有無窮多個自由度，此時，任意連續(xù)結(jié)構(gòu)都可以看成是無限多個微剛體組成的，每個微剛體有6個自由度，因而，我們可以認(rèn)為任意連續(xù)結(jié)構(gòu)具有無限多個自由度，但是，這些結(jié)構(gòu)又可以近似地看作是由有限個微剛體組成的（比方有限元分析時只能劃分有限數(shù)量的單元），因此又可以認(rèn)為連續(xù)體結(jié)構(gòu)具有有限個自由度。該自由度數(shù)決定了解析質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的維數(shù)，也決定上理論上存在的固有頻率階數(shù)或模態(tài)階數(shù)。 雖然連續(xù)體理論上有無限多階固有頻率，但很多情況下我們只關(guān)心低階的固有頻率或者特定階的固有頻率。這是因為固有頻率越低，越容易被外界激勵起來。另外，結(jié)構(gòu)也可能受到特定的激勵，如在某恒定轉(zhuǎn)速下運行，因此，也可能關(guān)心特定階的固有頻率。
雖然結(jié)構(gòu)有多階固有頻率，但很多情況下，可能指的是第一階固有頻率。因而，第一階固有頻率也稱為基頻。

04與共振頻率的區(qū)別

 共振是指系統(tǒng)受到外界激勵時產(chǎn)生的響應(yīng)表現(xiàn)為大幅度的振動，此時外界激勵頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同或者非常接近。共振是一種現(xiàn)象，共振發(fā)生時的頻率稱為共振頻率。不管共振發(fā)生與否，結(jié)構(gòu)的固有頻率是不變的，而只有當(dāng)外界的激勵頻率接近或等于系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)才發(fā)生共振現(xiàn)象。 當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼非常小時，共振頻率近似等于結(jié)構(gòu)的固有頻率。發(fā)生共振時，結(jié)構(gòu)的振動非常劇烈，這將導(dǎo)致不可預(yù)料的行為。因此，通常都要避免共振，但也有利用共振原理的，如振動篩、微波爐。 當(dāng)激勵頻率與固有頻率相等或接近時，才發(fā)生共振。因而，共振頻率不一定完全與固有頻率相等，共振頻率是按外界的激勵頻率來講的，而固有頻率是從結(jié)構(gòu)來講的。雖然很多情況下，都認(rèn)為共振頻率就是固有頻率。 在頻響函數(shù)曲線中，共振峰對應(yīng)的頻率為結(jié)構(gòu)的固有頻率，如圖6所示。但很多情況，共振現(xiàn)象不是發(fā)生在單一頻率（固有頻率）處，而是具有一定寬度的共振帶。也就是存在一個頻率區(qū)間，在這個區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)很容易發(fā)生共振現(xiàn)象。

圖6  共振峰對應(yīng)固有頻率
在colormap圖中，經(jīng)?？梢钥吹饺鐖D7紅框所示的垂直于頻率軸的具有一定寬度的高亮區(qū)域，這個區(qū)域就是共振帶區(qū)域。這個區(qū)域一定是在結(jié)構(gòu)的某一階固有頻率附近。從圖7可以看出，共振區(qū)域并不隨轉(zhuǎn)速的變化而變化，而是始終垂直于頻率軸。這是因為結(jié)構(gòu)的固有頻率是結(jié)構(gòu)的固有屬性，跟外界激勵沒有關(guān)系。

圖7  colormap中的共振帶

05避免共振，激勵頻率須離固有頻率多遠(yuǎn)

當(dāng)外界激勵頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時，系統(tǒng)會發(fā)生共振現(xiàn)象，那么，激勵頻率離固有頻率多遠(yuǎn)時，才能避免共振呢？或者說，共振帶一般出現(xiàn)在固有頻率附近多寬的區(qū)域？ 在圖8左圖中，對同一個單自由度系統(tǒng)進(jìn)行激勵，但激勵頻率不同，紫色的激勵頻率是固有頻率的0.4倍，藍(lán)色的激勵頻率是固有頻率的1.01倍，紅色的激勵頻率是固有頻率的1.6倍。

圖8  對同一單自由度系統(tǒng)施加不同的激勵
從三個運動的幅值可以明顯看出，藍(lán)色振動幅值最大，其次是紫色，最小的是紅色。系統(tǒng)相同，不同的僅是激勵頻率?；蛘哒f激勵頻率不同，系統(tǒng)的響應(yīng)大不相同。當(dāng)激勵頻率接近固有頻率時，系統(tǒng)的運動幅值最大（出現(xiàn)共振現(xiàn)象）。也就是藍(lán)色的振動幅值遠(yuǎn)大于其他兩個。因此，激勵頻率對系統(tǒng)響應(yīng)有明顯影響。那么，激勵頻率離固有頻率多遠(yuǎn)才能避免共振呢？ 用懸置隔振這張圖（圖9）來說明，縱軸為傳遞率，橫軸為激勵頻率與固有頻率之比。從圖中可以看出，傳遞率等于1時，對應(yīng)的激勵頻率與固有頻率之比為1.414，如圖中紅點所示。因此，只有當(dāng)激勵頻率大于固有頻率40%以上時才能起到避免共振的作用或者起到隔振的作用。但這是從隔振層次來說的，如懸置為了滿足隔振要求，激勵頻率應(yīng)是動力總成剛成模態(tài)頻率的2-3倍，即下圖中陰影區(qū)域。

圖9  懸置隔振
很多情況下，要考慮40%以上的頻率間隔，似乎是不現(xiàn)實的，因此，很難給出一定具體的數(shù)字來確定到底應(yīng)該須離固有頻率多遠(yuǎn)的距離。但是，也有一些行業(yè)普遍認(rèn)同的觀點，如在汽車行業(yè)，一般要求是距固有頻率有3Hz的間隔或者15%的距離。

06怎么測量

固有頻率是結(jié)構(gòu)的全局屬性，不會隨測量位置的變化而變化。因此，固有頻率測量時，理論上講，只需要在一個測量位置布置一個振動傳感器即可測量出關(guān)心頻率范圍內(nèi)所有的固有頻率。因此，固有頻率測量時，至少需要在一個測量位置布置一個單向振動傳感器進(jìn)行測量。

雖然理論上講，在一個位置安裝一個單向振動傳感器就能測量出結(jié)構(gòu)所有階固有頻率，但是卻有一些現(xiàn)實方面的影響，導(dǎo)致測量存在問題，這主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1）與測量位置有關(guān)。我們知道模態(tài)有節(jié)點，在布置模態(tài)參考點時，要求避開關(guān)心的所有模態(tài)的節(jié)點位置。同樣的道理，固有頻率作為三個模態(tài)參數(shù)之一，同樣要遵循這樣的要求：響應(yīng)位置避開關(guān)心模態(tài)的節(jié)點。從這一點來講，在進(jìn)行固有頻率測量時，應(yīng)多布置幾個響應(yīng)位置，或者說多使用幾個振動傳感器，且避免對稱布置。

2）與激勵位置有關(guān)。如果采用測量FRF的方法進(jìn)行測量，那么，要求激勵位置也應(yīng)該避開關(guān)心的所有模態(tài)的節(jié)點位置。這是因為如果激勵位置是某階模態(tài)的節(jié)點位置，那么將激勵不起來這階模態(tài)，因而這階模態(tài)將不參與結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，導(dǎo)致這階模態(tài)在FRF曲線中不可見。也就是說，對于固有頻率測量而言，要求激勵與響應(yīng)位置同時避開模態(tài)節(jié)點位置。那么，應(yīng)激勵多個不同的位置，以防一個激勵位置是一階或多階模態(tài)的節(jié)點。

3）與結(jié)構(gòu)特點有關(guān)。如果結(jié)構(gòu)是一個強方向性模態(tài)（一階或多階模態(tài)響應(yīng)僅出現(xiàn)在某一個方向，而在其他方向幾乎沒有響應(yīng)）結(jié)構(gòu)，那么，如果只在一個方向布置一個單向傳感器，那么必將丟失其他方向的固有頻率。因此，對于具有強方向性模態(tài)的結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)該在不同的方向布置測點，如在不同位置按不同布置單向振動傳感器，或在同一位置布置三向振動傳感器。

當(dāng)僅在結(jié)構(gòu)一個位置布置傳感器進(jìn)行測量時，由于各階模態(tài)的節(jié)點位置都是不相同的，因而，固有頻率測量會遭遇與模態(tài)參考點相同的風(fēng)險：一個測量位置會導(dǎo)致一階或幾階固有頻率不可見，因為一個測量位置不是這階模態(tài)的節(jié)點，就可能是那階模態(tài)的節(jié)點，這種可能性非常大。因此，強烈建議布置多個測量位置，在多個位置激勵，在多個方向上進(jìn)行測量。

在對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行固有頻率測量時，測量方法可以分為以下幾類：

1）測量FRF：如采用傳統(tǒng)的FRF測量方法，錘擊法與激振器法。由于固有頻率是模態(tài)參數(shù)之一，所以，采用測量FRF方法測量固有頻率同樣要求遵循模態(tài)測試的那些要求。如激勵響應(yīng)位置要求、激勵力的大小等，但此時要求激勵與響應(yīng)同時避開模態(tài)節(jié)點位置。

2）振動臺測試：將待測結(jié)構(gòu)在振動臺上進(jìn)行隨機激勵或掃頻激勵，然后分析響應(yīng)信號獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率。這時，要求響應(yīng)位置避開關(guān)心的固有頻率對應(yīng)的模態(tài)的節(jié)點位置。

3）只測量響應(yīng)：當(dāng)結(jié)構(gòu)處于工作狀態(tài)時，可以僅測量結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，然后對響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析。但這時頻譜圖中的峰值可能有的是結(jié)構(gòu)的固有頻率，也可能有的是強迫響應(yīng)頻率，還有可能是轉(zhuǎn)頻及其倍頻。另外，當(dāng)采用這種方法時，工作載荷可能不能將所有關(guān)心的固有頻率都激勵起來，可能僅激勵起一些固有頻率，甚至連基頻也激勵不起來的情況也存在。因此，采用這種方法時，要仔細(xì)評判。

4）變轉(zhuǎn)速激勵：對于旋轉(zhuǎn)機械而言，可以采用變轉(zhuǎn)速方法，如升降速測量，然后對響應(yīng)信號進(jìn)行瀑布圖分析，在瀑布圖中垂直于頻率軸的峰值區(qū)域即結(jié)構(gòu)的一階固有頻率。但這種方法，通常很難準(zhǔn)確地得出固有頻率的具體數(shù)值，更多對應(yīng)的是一個共振帶，如圖7所示。

5）非接觸式測量：當(dāng)結(jié)構(gòu)是一個輕質(zhì)結(jié)構(gòu)時，哪怕是在結(jié)構(gòu)上布置一個輕質(zhì)的傳感器也會導(dǎo)致固有頻率移動明顯，這時宜用非接觸式的傳感器進(jìn)行測量，如電渦流位移傳感器，聲壓傳感器等。我曾經(jīng)采用聲壓傳感器測量過PCB板、軸瓦等輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的固有頻率。

6）其他方法：如果能按測量FRF的方法來測量是最好的，但很多時候，我們都沒有激勵設(shè)備可用，那么這個時候，我們可以采用特殊的激勵方法，僅測量結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，對響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率。這些特殊的激勵方法包括：手撥方法（針對小型輕質(zhì)結(jié)構(gòu)）、階躍方法（使結(jié)構(gòu)存在一個初位移，然后突然釋放）、生活中的各式錘子激勵等。

大多數(shù)情況下，我們可以得到結(jié)構(gòu)多階固有頻率，這個時候應(yīng)該將固有頻率按頻率值從小到大的順序依次列出測量到的所有階固有頻率。我個人認(rèn)為，對于絕大多數(shù)情況，前幾階（小于等于10階）固有頻率就可滿足測試要求。當(dāng)然，可能大多數(shù)情況下，固有頻率測量僅僅是指測量第1階固有頻率。

對于FRF曲線，曲線圖中各峰值對應(yīng)的頻率即為各階固有頻率。但對于頻譜圖而言，可能會存在噪聲干擾，這時，如果發(fā)現(xiàn)頻譜圖中有線狀譜，那么這種情況下，可以認(rèn)為該線狀譜所對應(yīng)的頻率不是結(jié)構(gòu)的固有頻率，這是因為線狀譜的阻尼為0，這是不可能的，結(jié)構(gòu)總是存在或大或小的阻尼，不可能阻尼為0，因此，這時，這些線狀譜可以認(rèn)為是干擾或其他類型信號的頻率。

在二維頻譜圖中，并不是所有的峰值對應(yīng)的都是固有頻率，這是因為，有可能是激勵頻率或者是它的倍頻，而這些頻率都不是固有頻率。因此，在進(jìn)行固有頻率測試時，經(jīng)常通過測量頻響函數(shù)的方式來測量，因為頻率函數(shù)中的峰值對應(yīng)的都是系統(tǒng)的固有頻率，不會存在強迫的激勵頻率。