在自動(dòng)駕駛車輛路徑跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，經(jīng)常使用車輛的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，這種模型完全基于車輛運(yùn)動(dòng)特性的幾何關(guān)系建立，不考慮影響運(yùn)動(dòng)的力特性，使用時(shí)模型簡(jiǎn)單，便于分析。本文將介紹幾種常用的車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

1、以前軸中心為車輛中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖1 車輛模型

其中，為前輪轉(zhuǎn)向角，為橫擺角，為車輛前軸速度，為前輪轉(zhuǎn)角速度，f為前軸中心，r為后軸中心，v為后軸的速度，e為軸上任意一點(diǎn)到后軸中心的距離。

由勾股定理可知：

其中，R為轉(zhuǎn)彎半徑，L為軸距。

剛體的角速度等于它的線速度除以線速度到速度瞬心的距離R，即：

把(4)帶入(5)中可得：

以前軸中心為車輛中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型如下所示：

2、以后軸中心為車輛中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

把前軸中心的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為后軸中心的坐標(biāo):

式(8)對(duì)t求導(dǎo)可得：

將式(1)、式(2)和式(6)帶入上式可得：

以后軸中心為車輛中心(速度是前軸中心的速度)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

由速度投影公式可知：

將上式帶入式(11)中可得以后軸中心為車輛中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：

3、以軸上任意一點(diǎn)為車輛中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

把后軸中心的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為軸上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)：

以軸上任意一點(diǎn)為車輛中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式:

上式中的為橫擺角速度。

4、考慮質(zhì)心側(cè)偏角、以質(zhì)心為中心的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖2 自行車模型

其中，分別為前后輪轉(zhuǎn)角，為質(zhì)心側(cè)偏角，分別為質(zhì)心到前后軸的距離，R為轉(zhuǎn)彎半徑，C為質(zhì)心，O為速度瞬心，A和B分別為前后軸中心。

由勾股定理可知：

一個(gè)剛體的角速度等于它的線速度除以線速度到速度瞬心的距離，即：

由正弦定理可知：

把公式(4)帶入(3)中得：

考慮質(zhì)心側(cè)偏角、以質(zhì)心為中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式:

若后輪不轉(zhuǎn)向:

車輛低速時(shí)，可假設(shè)上式則將簡(jiǎn)化為如下形式，這也是常用的一種運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

5、以后軸中點(diǎn)為車輛中心的第二種運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

其中，分別為前后輪轉(zhuǎn)角且都為正值，正負(fù)號(hào)通過左正右負(fù)判斷，為橫擺角，為后軸中心的速度，R為質(zhì)心速度v對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)彎半徑，P點(diǎn)為速度v的瞬心，L為軸長(zhǎng)。

對(duì)進(jìn)行分解可得：

由速度投影定理可知：

與式(20)相同得到R：

通過式(26)和式(27)可得橫擺角速度：

根據(jù)上述推導(dǎo)，最終得到車輛后軸中點(diǎn)位置的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下：

6、Frenet坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

圖4 道路坐標(biāo)系下的車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

其中，分別為橫擺角和參考橫擺角，為橫向誤差，為前輪轉(zhuǎn)角，分別為質(zhì)心C.G到前后軸的距離，為質(zhì)心的速度。

聯(lián)立上式可得車輛在frenet坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如下，這也是在自動(dòng)駕駛中經(jīng)常使用的一種運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，尤其是在車道保持和GPS循跡行駛中。

綜上，本文介紹了6種不同的車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，其中使用最多的是模型（24）和（32），這兩個(gè)模型分別應(yīng)用于不同的坐標(biāo)系。