作者:雷靖 馬曉燕 吳杰芳 宋家慶

本文摘編自《非線性汽車懸架系統(tǒng)減振控制方法》，機械工業(yè)出版社出版

對于一個數(shù)學模型已知的系統(tǒng)，要解決的首要間判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因為不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不能正常工作的。系統(tǒng)在受到外.后偏離了原有的平衡狀態(tài)，而通過施加的控制力系統(tǒng)能夠克服干擾且有能力在一個新的平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種能力叫作系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在經(jīng)典控制理論中，對于單輸入-單輸出的線性定常系統(tǒng)，可以用奈奎斯特判據(jù)、勞斯判據(jù)等來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但當系統(tǒng)是時變的或非線性的時，這些判據(jù)就不能應用了。本章將介紹可用來確定時變系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)的更一般的方法--李雅普諾夫(Lypunov)直接法(也稱為李雅普諾夫第二方法)，也就是不用解出狀態(tài)方程就可確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種方法。

第一節(jié) 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動的大小無關;而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性則與初始條件及外界擾動的大小都有關系。在經(jīng)典控制理論中沒有給出同時適用于線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的一般的穩(wěn)定性定義。李雅普諾夫直接法是一種普遍方法，對于線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)都適用。李雅普諾夫給出了對于任何系統(tǒng)都適用的關于穩(wěn)定性的一般定義。

一、狀態(tài)向量的平衡狀態(tài)及球域

(一)狀態(tài)向量的平衡狀態(tài)設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

第二節(jié) 李雅普諾夫直接法

一、什么是李雅普諾夫直接法

早在1892年，俄國的李雅普諾夫就給出了研究穩(wěn)定性的李雅普諾夫法:李雅普諾夫第一法和李雅普諾夫第二法。由于受到當時條件的限制，李雅普諾夫法在工程上并不實用。隨著現(xiàn)代控制理論和計算技術的發(fā)展，應用李雅普諾夫法來研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅是十分必要，而且是完全可能的了。這也就是在現(xiàn)代控制理論中又重提李雅普諾夫法的原因。

李雅普諾夫第一法是把非線性函數(shù)用近似級數(shù)表示，然后用近似方法解這個非線性方程;李雅普諾夫第二法不是通過解方程，而是通過一個叫作李雅普諾夫函數(shù)的純量函數(shù)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于李雅普諾夫第二法不用解方程就能直接判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以又叫作李雅普諾夫直接法。

對于現(xiàn)代控制理論來說，李雅普諾夫直接法具有更明顯的優(yōu)越性。因為求解非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程一般都很困難，所以不用解方程就能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性就顯得更為優(yōu)越。另外，用李雅普諾夫直接法不僅能判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還能分析線形或非線性系統(tǒng)的瞬時響應。因此在現(xiàn)代控制理論中引起重視的是李雅普諾夫直接法。

李雅普諾夫直接法是從能量的觀點來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果一個系統(tǒng)儲存的能量是逐漸衰減的，這個系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，反之，如果系統(tǒng)不斷從外界吸收能量系統(tǒng)的能量越來越大，這個系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫直接法就是個普遍的方法，李雅普諾夫函數(shù)V(x)不僅限于是能量函數(shù)，實際上很多復雜的系統(tǒng)往往不能直觀地找到能量函數(shù)，可以把V(x)看成虛構的能量函數(shù)，只要能找到純量函數(shù)V(x)，根據(jù)V(x)和dV(x)/dx的符號就能判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這樣一來，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題就可以歸結為尋找李雅普諾夫函數(shù)V(x)。過去，要想找到李雅普諾夫函數(shù)是靠試探，要憑人的經(jīng)驗和技巧，這也是李雅普諾夫直接法長期以來不能推廣的主要障礙。數(shù)字計算機的發(fā)展使這一障礙正在逐漸得以清除，就像數(shù)字計算機把整個控制理論從頻域帶回時域一樣，它也把穩(wěn)定性的判別從奈奎斯特判據(jù)等帶回到李雅普諾夫直接法。由數(shù)字計算機不僅可以找到所需要的李雅普諾夫函數(shù)，而且還能找到系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域。

本文摘編自《非線性汽車懸架系統(tǒng)減振控制方法》，機械工業(yè)出版社出版，經(jīng)出版方授權發(fā)布。

本書結合作者與課題組成員多年的研究工作，介紹了時滯非線性懸架系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的建立，包括單輪懸架、半車懸架和整車懸架；詳細介紹了半主動時滯控制和幾種非線性減振控制的設計方法，包括神經(jīng)網(wǎng)絡監(jiān)督控制、滑模變結構控制、輸入-輸出反饋線性化控制、delta域很優(yōu)減振控制、輸入-狀態(tài)采樣控制以及輸出反饋控制；在此基礎上，運用懸架模型進行了仿真比較和驗證。本書反映了作者與課題組的近期新研究成果。本書既包括理論推導、證明，又結合懸架模型進行了仿真驗證,可供從事控制理論與應用的科研人員、工程人員、高等院校相關專業(yè)的教師、研究生、高年級本科生研究與參考。