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關(guān)于有限元應(yīng)力結(jié)果精度的幾點(diǎn)討論

2019-02-11 09:47:39·  來源：模態(tài)空間  作者：王朋波  
　
1、引言作為一名汽車結(jié)構(gòu)CAE工程師，使用有限元法進(jìn)行應(yīng)力分析是我多年的日常工作。但是關(guān)于有限元應(yīng)力結(jié)果的一些技術(shù)點(diǎn)一直未能吃透，查到的相關(guān)文獻(xiàn)也不多，文
1、引言
作為一名汽車結(jié)構(gòu)CAE工程師，使用有限元法進(jìn)行應(yīng)力分析是我多年的日常工作。但是關(guān)于有限元應(yīng)力結(jié)果的一些技術(shù)點(diǎn)一直未能吃透，查到的相關(guān)文獻(xiàn)也不多，文獻(xiàn)內(nèi)容也存在很多不盡不實(shí)之處。最近一段時間，抽空重新讀了一遍王勖成老師的《有限單元法》，也查閱了一些其它資料，簡單整理出了一些關(guān)于應(yīng)力結(jié)果的筆記，再加上一點(diǎn)自己的理解，與大家分享交流。
 
2、有限元位移解的下限性
利用最小位能原理求得的位移近似解所對應(yīng)的彈性變形能是精確解變形能的下限，即位移近似解在總體上偏小，模型偏于剛硬。利用最小余能原理得到的應(yīng)力近似解所對應(yīng)的彈性余能是精確解余能的上限，即應(yīng)力近似解在總體上偏大，結(jié)構(gòu)的計算模型偏于柔軟。
我們常用的結(jié)構(gòu)單元大都是位移元，以位移為未知量，基于最小位能原理建立。位移元得到的位移解具有下限性質(zhì)，在給定的載荷之下，計算模型的變形比實(shí)際要小。當(dāng)單元網(wǎng)格分割得越來越細(xì)時，位移數(shù)值解將由下方收斂于精確解，即得到真實(shí)解的下界。
 
需要注意的是，位移數(shù)值解并不是在每個點(diǎn)上都小于精確解，數(shù)值解只是總體上小于精確解，更準(zhǔn)確的說法應(yīng)該是外載荷在數(shù)值解上做的功小于在精確解上做的功，即
?TP≤uTP                （1）
 
上式中，?和u分別為位移數(shù)值解和精確解，P為外載荷。
位移解的下界性質(zhì)從物理上非常好理解。連續(xù)體具有無限多個自由度，可以有無數(shù)種復(fù)雜的變形模式。劃分單元后，位移場用有限個結(jié)點(diǎn)的位移和對應(yīng)的形函數(shù)來表示，即用一些簡單變形模式來逼近實(shí)際變形，如圖1所示。這就意味著連續(xù)體的變形受到了約束和限制，即剛度較實(shí)際增加了。由剛度方程可知，在外力相同的情況下，所求得的位移近似解將在總體上偏小。
圖1 用特定的形函數(shù)逼近準(zhǔn)確解

3、應(yīng)力結(jié)果的精度
使用位移有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析時，未知的場函數(shù)是結(jié)構(gòu)位移。利用最小位能原理建立的求解方程是系統(tǒng)的平衡方程，求解方程得到的是各結(jié)點(diǎn)的位移，但實(shí)際工程問題往往更關(guān)注結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布。
位移有限元法求解應(yīng)力的基本步驟如下：
  1. 引入位移邊界條件；
  2. 求解方程組得到各結(jié)點(diǎn)的位移a；
  3. Ka=P                （2）
  4. 根據(jù)單元各結(jié)點(diǎn)位移，通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算求得應(yīng)變和應(yīng)力。
ε=Lu=Bae  σ=Dε=DBae     （3）
例如對于平面問題，
應(yīng)變矩陣B是對插值函數(shù)求導(dǎo)得到的矩陣，每求導(dǎo)一次，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就降低一次。所以通過導(dǎo)數(shù)運(yùn)算得到的應(yīng)力解的精度較位移解降低了一階。例如線性單元的應(yīng)力是近似均布的，二次單元的應(yīng)力是近似線性分布的，其精度都比位移解低（雖然應(yīng)力分布函數(shù)還包含了一些高次項(xiàng)，但這些高次項(xiàng)都是非完全項(xiàng)，并不能提高應(yīng)力精度）。
有限元應(yīng)力解的近似性表現(xiàn)在：
  1. 單元內(nèi)部一般不滿足平衡方程；
  2. 單元與單元交界面上應(yīng)力一般不連續(xù)；
  3. 力的邊界上一般也不滿足力邊界條件。
只有單元尺寸無限趨近于0時，即自由度數(shù)趨近無窮時，才能精確滿足平衡方程、力邊界條件和單元交界面上的應(yīng)力連續(xù)性。在單元數(shù)量有限時，這些條件只能近似滿足，除非實(shí)際應(yīng)力變化的階次等于或低于所用單元的應(yīng)力分布函數(shù)階次。

4、應(yīng)力解的震蕩性質(zhì)
位移有限元法從力學(xué)上解釋是求位移變分所引起的應(yīng)變能為極小值的問題，從數(shù)學(xué)上解釋是求解應(yīng)力近似解與精確解差值的加權(quán)最小二乘問題。
與位移結(jié)果不同，位移元的應(yīng)力結(jié)果并沒有下限性質(zhì)。應(yīng)力結(jié)果是精確應(yīng)力在加權(quán)最小二乘意義上的近似解，應(yīng)力近似解必然在精確解上下震蕩；并且在某些點(diǎn)上，近似解恰好等于精確解，即單元內(nèi)存在最佳應(yīng)力點(diǎn)，如圖2所示。
圖2 有限元應(yīng)力解的震蕩性質(zhì)
我們在有限元強(qiáng)度分析中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)在應(yīng)力集中部位的應(yīng)力解低于精確解，所以有人誤以為位移有限元法的應(yīng)力解也有下限性質(zhì)。但真正原因是單元數(shù)目有限，且應(yīng)力近似解的階次低，無法正確描述應(yīng)力的劇烈變化。對于高應(yīng)力梯度區(qū)域，有限元解通常給出的是一個比實(shí)際平滑的結(jié)果。如果結(jié)構(gòu)上某部位的應(yīng)力突然上升，該部位的應(yīng)力解將低于精確解，但如果某個部位應(yīng)力突然下降，該處的應(yīng)力解反而會高于精確解。
位移元的應(yīng)力解沒有下限性質(zhì)從物理上也容易解釋，有限元相當(dāng)于在結(jié)構(gòu)內(nèi)部增加了約束，即增加了整體剛度。在外載荷相同的情況下，剛度增加能導(dǎo)致位移數(shù)值解偏小，但解得的應(yīng)力應(yīng)該在總體上保持不變，否則就無法滿足平衡方程。

5、減縮積分和完全積分單元
完全積分是指當(dāng)單元具有規(guī)則形狀時，所用的高斯積分點(diǎn)的數(shù)目足以對單元剛度矩陣中的多項(xiàng)式進(jìn)行精確積分。
減縮積分是指對單元剛度陣進(jìn)行積分時，所用的高斯積分點(diǎn)數(shù)低于精確積分的要求，一般是按照下式來確定高斯積分點(diǎn)數(shù)，
n=p-m+1       （5）
式中，n為高斯積分點(diǎn)數(shù)，p是插值函數(shù)中完全多項(xiàng)式的方次，m是微分算子L中的導(dǎo)數(shù)階次（對于用于彈塑性力學(xué)分析的實(shí)體單元，m=1）。
按照式（5）確定積分點(diǎn)數(shù)的減縮積分單元比完全積分單元在每個方向上減少了一個積分點(diǎn)。
對于大部分商用有限元軟件，二維實(shí)體單元中的線性與二次四邊形單元有減縮積分形式，積分點(diǎn)數(shù)分別為1*1和2*2。三維實(shí)體單元中的線性和二次六面體單元有減縮積分形式，積分點(diǎn)數(shù)分別為1*1*1和2*2*2。三角形單元、四面體單元和楔形單元一般沒有減縮積分形式。
圖3 完全積分和減縮積分單元
因?yàn)榻档土藙偠染仃嚨姆e分精度，減縮積分單元看似會影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。但實(shí)際計算表明，采用減縮積分往往可以取得比精確積分更好的精度，主要原因如下：
1）精確積分常常是由插值函數(shù)中非完全多項(xiàng)式的最高方次所要求，而決定有限元精度的，通常是完全多項(xiàng)式的方次。這些非完全的最高方次項(xiàng)往往不能提高精度，反而有負(fù)面影響。采用式（5）的減縮積分方案，積分精度恰好保證完全多項(xiàng)式方次要求，實(shí)質(zhì)是用一種新的插值函數(shù)代替原插值函數(shù)，從而改善單元精度。
2）在最小位能原理基礎(chǔ)上建立的位移有限元，計算模型具有較實(shí)際結(jié)構(gòu)偏大的整體剛度。選取減縮積分方案將使有限元模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高精度。
3）減縮積分方案對于泛函中包含罰函數(shù)的情況也常常是必須的，以保證罰函數(shù)矩陣的奇異性。例如基于相對自由度的梁單元和板殼單元，采用完全積分會出現(xiàn)剪切鎖死問題，導(dǎo)致出現(xiàn)完全歪曲的結(jié)果，改用減縮積分方案就可以有效解決。
 
4) 減縮積分因?yàn)榉e分點(diǎn)數(shù)比全積分少很多，所以大幅減少了計算量，提高了計算效率。
實(shí)際工程應(yīng)用中，完全積分單元容易出現(xiàn)剪切鎖死和體積鎖死等問題，即使劃分很細(xì)的網(wǎng)格，精度依然很差，所以一般不推薦使用。
通常應(yīng)選擇各種減縮積分單元或者修正單元。線性減縮積分單元只有一個中心積分點(diǎn)，解決了鎖死問題，但存在沙漏問題，有些情況下表現(xiàn)的過于柔軟，好在已經(jīng)發(fā)展出多種有效的沙漏控制技術(shù)，只要網(wǎng)格比較細(xì)密，就能得到較精確的位移解。二次減縮積分單元則基本上沒有沙漏與鎖死問題，能夠提供很高的計算精度，對于通常的變形和強(qiáng)度分析是比較好的選擇。
 
6、等參單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)
如前述，應(yīng)力近似解是應(yīng)力精確解在加權(quán)最小二乘意義上的近似解。如果位移近似解是p次多項(xiàng)式，L是m階微分算子，則應(yīng)力近似解是p-m階多項(xiàng)式。如果應(yīng)力精確解是比近似解更高一階的多項(xiàng)式，即p-m+1階多項(xiàng)式，則在p-m+1階高斯點(diǎn)上，應(yīng)力近似解和精確解是相等的，即近似解在這些積分點(diǎn)上具有比本身高一階的精度。這些高斯點(diǎn)稱為單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)，又稱優(yōu)化應(yīng)力點(diǎn)或超收斂應(yīng)力點(diǎn)。
圖4 單元最佳應(yīng)力點(diǎn)
上面的討論是假定了單元雅各比行列式為常數(shù)，且每個單元內(nèi)的應(yīng)力近似解變分獨(dú)立。所以以上結(jié)論僅對結(jié)點(diǎn)等間距分布的一維單元是嚴(yán)格的，對于二維和三維單元只能是近似的。但一般情況下我們?nèi)匀荒艿玫饺缦峦普摚?br />  
在等參元中，單元的p-m+1階高斯點(diǎn)上的應(yīng)力和應(yīng)變比其他部位具有更高的精度，因此稱p-m+1階高斯點(diǎn)是單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)。對比式（5）可知，單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)恰好是減縮積分方案的積分點(diǎn)。
 
很多文獻(xiàn)認(rèn)為單元積分點(diǎn)就是最佳應(yīng)力點(diǎn)，這個說法并不準(zhǔn)確。前面關(guān)于最佳應(yīng)力點(diǎn)的討論并未涉及單元積分方案，無論是減縮積分還是完全積分單元，最佳應(yīng)力點(diǎn)都是p-m+1階高斯點(diǎn)。換句話說，對于減縮積分單元，最佳應(yīng)力點(diǎn)與其積分點(diǎn)恰好一致，但對于完全積分單元，最佳應(yīng)力點(diǎn)與其積分點(diǎn)并不一致。比如線性減縮積分四邊形單元，最佳應(yīng)力點(diǎn)就是中心積分點(diǎn)，但對于線性完全積分四邊形單元，最佳應(yīng)力點(diǎn)仍然是中心點(diǎn)，與2*2個單元積分點(diǎn)并不一致。
 
既然很多情況下，單元積分點(diǎn)并不是最佳應(yīng)力點(diǎn)，為什么商用有限元軟件都是計算輸出積分點(diǎn)應(yīng)力呢？主要原因是為了節(jié)省計算量和內(nèi)存需求。
 
根據(jù)式（3）可知，計算單元內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變或者應(yīng)力，需要計算集成應(yīng)變矩陣B。集成單元剛度陣時，軟件已經(jīng)將各積分點(diǎn)位置的B矩陣計算并存儲，求得各結(jié)點(diǎn)位移后，直接調(diào)用內(nèi)存中的B矩陣就能算得積分點(diǎn)應(yīng)力。但對于非積分點(diǎn)位置，則需要重新計算和存儲該點(diǎn)的B矩陣。
 
所以商用有限元軟件為了減少計算和內(nèi)存消耗，都是只計算積分點(diǎn)應(yīng)力，然后再外推到單元其它位置。
 
7、減縮積分和完全積分單元的應(yīng)力精度
 
減縮積分單元只要進(jìn)行了有效的沙漏控制，就能得到較高精度的位移解，但在它的應(yīng)力結(jié)果通常不能令人滿意，主要表現(xiàn)為在應(yīng)力集中區(qū)域減縮積分單元給出的應(yīng)力值低于實(shí)際值。
所以有人認(rèn)為減縮積分方案的位移解精度更高，而完全積分方案的應(yīng)力解精度更高，其實(shí)這個觀點(diǎn)并不正確。
 
既然應(yīng)力結(jié)果是對位移結(jié)果求導(dǎo)得到的，要想得到高精度的應(yīng)力解，當(dāng)然要先保證高精度的位移解。減縮積分單元的位移解精度較高，而且應(yīng)力輸出的積分點(diǎn)恰好是單元最佳應(yīng)力點(diǎn)，因此其應(yīng)力精度總體上是高于完全積分單元的。
 
但減縮積分有一個缺點(diǎn)是應(yīng)力輸出點(diǎn)（即積分點(diǎn)）較少，無法描述單元內(nèi)應(yīng)力的劇烈變化，對于應(yīng)力集中部位，會給出一個過分平滑的單元應(yīng)力結(jié)果。尤其是線性減縮積分單元，只有一個中心應(yīng)力輸出點(diǎn)，外推的結(jié)果只能是整個單元的應(yīng)力為常值。如圖5所示。
圖5 線性減縮積分單元的應(yīng)力結(jié)果
完全積分單元在每個方向都多了一個積分點(diǎn)，也就是每個方向多一個應(yīng)力輸出點(diǎn)，所以在結(jié)點(diǎn)位移足夠精確的前提下，完全積分單元能夠?qū)Ω邞?yīng)力梯度提供更好的描述。
比較好的方案應(yīng)該是對結(jié)構(gòu)整體上用實(shí)施沙漏控制的減縮積分單元離散，對于應(yīng)力集中部位則局部采用完全積分單元。需要格外注意的是，完全積分單元只能用于不承受彎曲載荷的局部，并且要采用加密的網(wǎng)格，以保證位移解精度。局部采用完全積分單元的做法并不能真正提升應(yīng)力解精度，但對于我們所關(guān)注的局部高應(yīng)力結(jié)果有明顯改善。
 
對于三維實(shí)體結(jié)構(gòu)，高應(yīng)力通常發(fā)生于結(jié)構(gòu)表面，表面應(yīng)力是根據(jù)單元內(nèi)部積分點(diǎn)應(yīng)力外推得到的。即使我們的結(jié)點(diǎn)位移是精確解，外推得到的表面應(yīng)力的精度也不會很高。為克服這個缺點(diǎn)，可以在實(shí)體有限元模型表面覆蓋一層同種材料的膜單元（建議厚度取0.01毫米）。膜單元根據(jù)表面結(jié)點(diǎn)位移來直接計算表面應(yīng)力，避免了由實(shí)體內(nèi)部積分點(diǎn)外推造成的誤差，所以表面應(yīng)力的精度將有明顯改善。有些商用有限元軟件已經(jīng)提供了類似的表面應(yīng)力計算方法，無需用戶自己建立表面膜元。
 
8、小結(jié)
  • 位移有限元法得到的位移解具有下限性質(zhì)，在給定的載荷之下，計算模型的變形比實(shí)際要小。
  • 位移元的應(yīng)力結(jié)果并沒有下限性質(zhì)，應(yīng)力近似解必然在精確解上下震蕩。
  • 等參單元的最佳應(yīng)力點(diǎn)是p-m+1階高斯點(diǎn)，與減縮積分單元的積分點(diǎn)一致，但與完全積分單元的積分點(diǎn)并不一致。
  • 完全積分單元的應(yīng)力精度并不會高于減縮積分單元，但在應(yīng)力集中部位細(xì)化網(wǎng)格和局部使用完全積分單元，有助于改善局部高應(yīng)力結(jié)果。
  • 在實(shí)體有限元模型表面覆蓋膜單元來計算表面應(yīng)力，能夠明顯提高表面應(yīng)力的精度。
作者簡介
王朋波，清華大學(xué)力學(xué)博士，汽車結(jié)構(gòu)CAE分析專家。重慶市科協(xié)成員、《計算機(jī)輔助工程》期刊審稿人、交通運(yùn)輸部項(xiàng)目評審專家。專業(yè)領(lǐng)域?yàn)檎嚻谀途?NVH/碰撞安全性能開發(fā)與仿真計算，車體結(jié)構(gòu)優(yōu)化與輕量化，CAE分析流程自動化等。王朋波私人微信：poplewang。 
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