車身靜剛度是車身結構的關鍵指標之一，該剛度與各種車輛性能（如NVH，舒適性和車輛操縱穩(wěn)定性等）顯著相關，因此需要對其進行準確的測試。

基于模態(tài)測試的車身靜剛度識別方法，相比較傳統(tǒng)的靜剛度臺架試驗方法，有著諸多優(yōu)點：比如基于自由-自由邊界條件，試驗重復性好，能夠更好地實現與仿真結果對比驗證；另外還可以將結構的模態(tài)動力學性能與靜剛度性能關聯(lián)起來，進行各階模態(tài)對靜剛度貢獻量的分析，等等……

今天將帶您深入了解基于模態(tài)測試靜剛度識別方法的原理，并結合實際工程案例來介紹其實際應用。


前言

識別靜剛度特性的傳統(tǒng)方法是使用靜剛度測試臺架，這種方法的劣勢是需要專門進行測試臺架夾具的設計，夾具設計的好壞直接影響測試結果的精度。另一個劣勢在于邊界條件很難在CAE環(huán)境中進行復現，不利于進行試驗和有限元仿真結果的對比分析。

而另外一種方法則是基于車身在自由-自由邊界條件下的頻響函數測試結果，結合試驗模態(tài)分析技術，來進行車身靜剛度的識別。這種方法的優(yōu)點是不依賴于任何專業(yè)夾具，試驗的可重復性好，所需要的測試準備時間也較少。另一個顯著的優(yōu)點是自由-自由的邊界條件在CAE環(huán)境中更容易重現，從而使得測試和仿真間的關聯(lián)分析更為容易。唯一需要注意的是，這種方法中所涉及的試驗模態(tài)分析需要使用者有一定的工程經驗，特別是對于內飾車身而言，由于結構阻尼比較大，對于模態(tài)參數的識別將更具有挑戰(zhàn)性。

這篇文章首先就基于模態(tài)試驗的靜剛度識別方法的原理進行簡要介紹，而后分享一個內飾車身的實際工程案例，分析結果將包括車身整體靜剛度（彎曲和扭轉）和局部硬點的剛度識別。此外，還對車身靜剛度結果的穩(wěn)定性進行分析，驗證了這種方法的可靠性。最后，通過模態(tài)貢獻量分析技術，將車身模態(tài)特性與特定區(qū)域的靜剛度特性進行了關聯(lián)分析，可以應用于車輛NVH或其它動態(tài)性能的優(yōu)化。

（一）原理介紹

1.1 基本原理

首先回顧一下靜剛度的基本測試原理。如圖1所示，左圖是彎曲靜剛度試驗原理圖，右圖是扭轉靜剛度試驗原理圖。


圖1 靜剛度試驗原理圖（左為彎曲靜剛度，右為扭轉靜剛度）

對于彎曲靜剛度試驗，如圖2左圖所示，首先在車身的前后塔柱點（Shock Tower）位置進行約束（通常前塔柱點僅約束Z向，右后約束X及Z向，而左后則XYZ三方向全部約束）。在左右兩側門檻梁及通道梁上布置多個位移測點，而后在前排座椅位置垂向（-Z）加載。加載力與門檻梁上最大變形量的比值則為彎曲靜剛度。對于扭轉靜剛度試驗而言，則如圖2右圖所示，僅將后塔柱點進行約束，而后在前塔柱點反向施加靜態(tài)扭矩，加載力矩與扭轉角之間的比值即為扭轉靜剛度。

當加載力作用到車身上后，各個約束都會對車身產生反作用力，對車身本身進行簡化受力分析。彎曲靜剛度而言，在1，2點施加Z向載荷后，3~6點會產生約束反作用力。扭轉靜剛度則是在1，2點施加反向載荷，3，4點產生約束反作用力。


圖2 車身靜剛度試驗受力分析示意圖（左為彎曲靜剛度，右為扭轉靜剛度）

就車身結構而言，各個位置的變形實際是由加載力以及反作用約束力共同作用而產生的。如同我們所熟悉的動力學問題，各點的靜態(tài)變形可以看作是0Hz頻率處的位移，也是由各個載荷共同作用而產生：



其中為X各點位移向量，F是由所施加載荷以及反作用約束力構成的力向量，H為零頻柔度矩陣。

對于彎曲靜剛度而言，公式（1）的具體表達形式為：



對于扭轉靜剛度而言，公式（1）的表達形式則更為簡單：



代表外部載荷， 代表約束反作用力，下標為自由度編號。公式（2）只考慮了加載作用點和約束點Z向自由度，而在實際工程中，因為最大變形處不一定在加載作用點，因此通常在門檻梁及通道梁上布置更多的傳感器，以捕捉最大變形點。此時公式（2）中的自由度將更多。

如果可以確定出公式（2）和（3）中各自由度間的零頻柔度，那么靜載荷和靜態(tài)變形之間的關系就可以確定下來，從而就可以推導出靜剛度。

1.2 靜剛度的推導方法

靜剛度的推導有兩種方法，一種是虛擬載荷法，一種是虛擬位移法。

虛擬載荷法

所謂虛擬載荷法就是在車身上虛擬添加一個靜態(tài)載荷，也就是公式（1）中載荷向量已知，左乘零頻柔度矩陣，就可以得到各自由度的靜態(tài)位移。找到其中的最大變形量（扭轉角），除以靜載（扭矩）就可以得到彎曲靜剛度（扭轉靜剛度）。


圖3 彎曲靜剛度試驗受力分析

對于彎曲靜剛度而言，我們可以根據圖3所示幾何關系，通過力矩平衡方程推導得到反作用力和外部載荷的關系：


求解，即可得到：



其中 ，。由此，公式（2）就可以簡化為：



從公式（6）中可以看到，基于車身自由-自由狀態(tài)下的零頻柔度矩陣H，施加虛擬載荷后，就可以計算得到任何載荷作用下各測點的位移，找到最大靜態(tài)變形點，除以2F  （總外力）即可計算得到彎曲靜剛度。

而對于扭轉靜剛度而言，


圖4 扭轉靜剛度受力分析

同樣，根據圖4的受力分析，基于力矩平衡方程：



可以得到：



其中 為所施加力矩。由此，公式（3）就可以簡化為：



同樣基于車身結構的零頻柔度矩陣，那么就可以計算得到任何力矩作用下1，2兩點的相對位移，從而計算得到扭轉角，除以扭矩 就可以進一步得到扭轉靜剛度。

虛擬位移法

對于虛擬位移法，則是給定車身各自由度一組虛擬的變形量，然后求解所需要的載荷向量。此時公式（2）和（3）改寫為：



公式（10）考慮到彎曲靜剛度試驗中3~6點Z向被約束，因此 位移為零。通過給定位移向量，左乘零頻柔度矩陣的逆矩陣，求解得到加載向量，就可以計算得到靜剛度。因為這是一個矩陣求逆的過程，因此可以想象這種方法對零頻柔度的精度要求更高。

（二）零頻柔度矩陣的確定

從原理介紹中可以看到，無論是對于彎曲靜剛度還是扭轉靜剛度，無論是用虛擬載荷法還是虛擬位移法求解靜剛度，其關鍵在于車身結構零頻的柔度矩陣的確定。對于零頻柔度矩陣的確定，目前有兩種可行的方法，一種是直接測試法，另一種是模態(tài)綜合法。

2.1 直接測量法

這種方法希望直接通過測試來得到0Hz附近的柔度矩陣參數。但往往由于邊界條件無法實現理想的自由自由狀態(tài)，導致車身的剛體模態(tài)必然會從0Hz向上偏移。此外，如果傳感器低頻性能不好，也會導致0Hz附近的柔度參數測試結果精度不可靠。

因此所謂直接測量，也通常是通過測試得到的0Hz以上的柔度，然后外推得到0Hz的柔度矩陣。其中一種外推的方法是基于單自由度無阻尼系統(tǒng)假設，對每條頻響函數，用較高頻率處的高質量頻響函數，根據公式（13）列方程組識別出質量 和剛度 參數，然后推導出低頻處的頻響函數，再外推得到出零頻的柔度。測試中可以使用振動加速度計，通過頻域積分得到位移。



這種方法原理簡單，但不能將結構動剛度特性和靜剛度特性進行關聯(lián)分析，無法分析各階彈性體模態(tài)對靜剛度的影響。

2.2 模態(tài)綜合法

模態(tài)綜合（Modal Synthesis）是NVH工程師所熟悉，大家在做模態(tài)試驗時，得到模態(tài)分析結果后，經常會根據公式（14），用模態(tài)綜合技術合成得到頻響函數，將之與實測頻響函數對比，以分析模態(tài)分析結果的精度。



其中 為第 階模態(tài)的極點， 為第階模態(tài)的留數， LR為下殘余項， UR為上殘余項。

這里利用模態(tài)綜合技術，是為了通過合成得到各自由度之間的頻響函數，頻域積分后推算出零頻柔度，構造得到柔度矩陣。圖5是某結構模態(tài)試驗中，實測結果（紅色）與模態(tài)綜合（藍色）得到的頻響函數的對比?？梢钥吹剑B(tài)綜合去除了邊界吊掛所造成剛性模態(tài)的影響，在300Hz以下，剛度逐漸趨于穩(wěn)定，直到零頻，將零頻剛度取倒數即可得到零頻柔度數據。


圖5 模態(tài)綜合（藍色）與實測（紅色）動剛度曲線對比

模態(tài)綜合方法的優(yōu)勢就是基于我們所熟悉的模態(tài)分析流程，操作簡單方便。但需要注意的是：

•  在模態(tài)綜合過程中，要充分考慮分析帶寬內是否包含了足夠多的模態(tài)信息。也就是要考慮模態(tài)截斷對結果的影響，因為分析帶寬外的模態(tài)同樣會對零頻靜剛度有貢獻。如圖6所示，白車身不同彈性體模態(tài)個數對靜剛度識別的影響，可以看到當模態(tài)階數超過47階后，誤差將可以控制到5%以內。

•  當引入的模態(tài)階數比較低時，在模態(tài)綜合中必須要考慮上殘余項。而當模態(tài)階數考慮的足夠多時，上殘余項的影響將逐漸變小。當達到一定數量后，再引入更多模態(tài)的必要性也將下降。越高階模態(tài)越反映的是結構局部剛度特性，因此對整體的靜剛度影響就會越小。

•  此外，不同振型的模態(tài)對靜剛度的影響也不相同，對于彎曲靜剛度而言，主要是彎曲模態(tài)的影響；而對于扭轉靜剛度，則主要是扭轉模態(tài)的影響。


圖6 模態(tài)個數對靜剛度分析結果的影響

（三）工程實例

3.1 車身模態(tài)模型的建立

將內飾車身進行軟支撐，盡量保證剛體模態(tài)和柔性體模態(tài)分離。對車身安裝硬點進行激勵，獲取關鍵位置的響應，從而得到車身的頻響函數FRF，為后續(xù)建立車身的模態(tài)模型做好準備工作。

對于內飾車身來說建立模態(tài)模型不是一件容易的事情，因為內飾車身的阻尼比較大，模態(tài)密度比較高，所以識別其完整的模態(tài)具有一定的挑戰(zhàn)。完整的模態(tài)模型對于后續(xù)柔度矩陣的估計精度是至關重要的，所以我們要盡可能建立一個好的車身模態(tài)模型。西門子（原LMS）的Polymax模態(tài)分析算法能夠很好的應對這種場景，對于大阻尼、高密度的模態(tài)分析具有先天的優(yōu)勢。另外，LMS前兩年新推出的MLMM模態(tài)優(yōu)化算法，可以通過最大似然估計的迭代求解，更好的完成模態(tài)綜合中的頻響函數擬合，此外還可以比較嚴格地實現基于實模態(tài)的互易性，這對于提高柔度矩陣的精度而言是非常有益的。


圖7 模態(tài)擬合曲線和實測頻響函數曲線對比

圖7左側結果是手動進行模態(tài)參數提取后的擬合曲線和實測頻響函數曲線的對比，右側結果是利用MLMM進行模態(tài)優(yōu)化之后的擬合曲線和實測頻響函數曲線的對比，從結果中可以看出MLMM算法優(yōu)化之后的結果和實測的結果擬合程度要更好一些。

本案例中的內飾車身模態(tài)分析的上限頻率是100Hz，高于100Hz的模態(tài)結果會以殘余項的形式呈現。殘余項通過MLMM的優(yōu)化迭代也會更精確，因此擬合出來的曲線和實測結果能夠更加吻合。

3.2 車身靜剛度的識別

模態(tài)模型一旦建立以后，靜剛度的計算是通過在模型上虛擬加載，而后求解關鍵點的位移來實現的，對于彎曲剛度和扭轉剛度，只是加載點和關心點的位置不同而已。

目前，西門子（原LMS）的Testlab軟件中已經將該功能實現了商業(yè)化，其軟件界面如圖8所示。操作簡單，調用模態(tài)分析結果后，直接輸入虛擬載荷，就可以直接計算出各點位移變形量以及靜剛度結果。

此外，如果在頻響函數測試過程中，除了靜剛度試驗中所需要的測點之外，還可以在車身上一些關鍵的連接硬點布置測點，構建更大的柔度矩陣，這樣就不僅可以進行車身整體的靜剛度（Global Body Static Stiffness）的分析，還可以得到各連接硬點的局部靜剛度信息（Hard Point Static Stiffness）。

軟件還支持通過施加不同的載荷（不同位置，不同方向，不同大?。?，觀察車身結構及局部硬點的位移變化，進行各種對比分析。


圖8 西門子Simcenter Testlab 車身靜剛度分析軟件界面

為了驗證基于模態(tài)數據的靜剛度試驗方法的穩(wěn)定性，針對同一車身進行了多次模態(tài)測試及分析，得到了5組不同的模態(tài)分析結果和模態(tài)模型。利用5組模態(tài)模型的結果對同一個車身硬點位置的靜剛度進行估計，如圖9所示，可以看到其結果波動量在4.2%以內。


圖9 不同模態(tài)模型靜剛度估計結果對比

為了進一步驗證算法的可靠性，針對車身對稱位置的兩個點靜剛度結果進行了估計，按照工程經驗，對稱位置的靜剛度結果應該相當，實際識別結果如圖10，其靜剛度結果的確相當。


圖10 車身對稱位置靜剛度識別結果

3.3 靜剛度結果的分析

通過車身模態(tài)模型進行靜剛度的識別后，模態(tài)分解可以幫助我們更深入的理解車身靜態(tài)性能和動態(tài)特性之間關系。圖11列出了車身模態(tài)對于前后車身硬點剛度的貢獻量結果，從結果中可以清晰的看出關鍵模態(tài)，對于前后硬點剛度來說模態(tài)貢獻的情況是不同的，正是因為如此，工程師可以明確哪階車身模態(tài)對該區(qū)域剛度起著關鍵性的作用，進而對車身結構進行優(yōu)化，改善包括NVH在內的各項汽車動態(tài)性能。


圖11 前后車身硬點剛度的模態(tài)貢獻量結果

此外，還可以結合車身變形與車身載荷、駕駛參數等信息，進行汽車操穩(wěn)性能分析。如圖12所示，是一個100km時速時30°步進轉向的工況分析。從圖中我們可以看到，在轉向的瞬間，前下擺臂前連接點的載荷（紅色）立即變大，后下擺臂連接點載荷（綠色）的變化則相對滯后，這是正常的。在整個工況過程當中，可以看到車身的實時變形，以及不同時刻四階車身模態(tài)對車身變形的貢獻量（左上圖）。左下圖顯示的是車身上綠色測點的橫向變形量，在不同工況時四階模態(tài)對各測點變形量的貢獻量則用四種顏色柱狀顯示。通過這樣的關聯(lián)分析，可以幫助工程師判斷車身的關鍵剛度薄弱點及其對操穩(wěn)性能的影響。


圖12 汽車操作穩(wěn)定性分析

總結

通過車身動態(tài)數據（FRF）進行車身局部和全局靜剛度識別的方法是一種創(chuàng)新的方法，經過工程實踐可以證明此方法的穩(wěn)定性和可靠性。同時它的運用前景也是十分廣闊，不僅可以用于白車身，也可以用于內飾車身。更加難得的是除了靜剛度結果外還能延伸出更加豐富和深刻的工程信息，例如利用模態(tài)貢獻量結果進行汽車操作穩(wěn)定性分析等。


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