車道換道行為是日常行車中最常見的駕駛行為之一，車輛換道軌跡規(guī)劃是自主車輛能否安全而又高效地完成換道任務(wù)的關(guān)鍵，因此對換道軌跡規(guī)劃的研究逐漸成為自主車輛技術(shù)研究的重點(diǎn)。基于幾何的軌跡規(guī)劃通常采用參數(shù)化的曲線來描述軌跡，這種方法較為直觀、精確，且運(yùn)算量較小，因此是目前采用的較為廣泛的軌跡規(guī)劃方法。本文根據(jù)換道過程中對換道軌跡平穩(wěn)性、舒適性和效率性的要求，提出了一種基于五次多項(xiàng)式的換道軌跡規(guī)劃方法。

圖1  車輛換道過程

假設(shè)車輛橫縱向位置y(t)、x(t)是關(guān)于時(shí)間t的五次多項(xiàng)式：

車輛換道軌跡規(guī)劃實(shí)際上是求解式（1）中的系數(shù)ai和bi的值，基于多項(xiàng)式的換道軌跡模型只需獲取車輛的初始狀態(tài)及目標(biāo)狀態(tài)，即可通過計(jì)算獲得換道軌跡，即建立邊界條件

其中，w是車道寬度，tf和xf是完成整個(gè)換道過程所需的時(shí)間以及縱向行駛距離，v0表示換道時(shí)的縱向車速。

根據(jù)上述邊界條件可得x和y關(guān)于t的六元一次方程組：

可得五次多項(xiàng)式的系數(shù)為：

則可得換道軌跡的五次多項(xiàng)式為：

根據(jù)變道過程中對換道軌跡平穩(wěn)性和效率性，以及變道效率的要求，所以對橫縱向加速度以及變道縱向距離進(jìn)行優(yōu)化。換道軌跡規(guī)劃時(shí)的代價(jià)函數(shù)為：

其中，w1,w2,w3分別是權(quán)重系數(shù)。

將換道軌跡方程代入優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可得：

該優(yōu)化目標(biāo)是縱向行駛距離xf和換道時(shí)間tf的二元函數(shù)，根據(jù)KKT原理求解該優(yōu)化函數(shù)的極值點(diǎn)：

解該方程組可得最優(yōu)解滿足關(guān)系式：

考慮到橫向的安全性與舒適性更重要，因此，選取權(quán)重系數(shù)為w1=w3=1，w2=2，道路寬度為w=3.5，MATLAB求解程序如下：

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clear,clc

w=3.5;w2=2;v0=linspace(5,50);

tf=zeros(1,length(v0));xf=zeros(1,length(v0));

for i=1:length(v0)

    p=[49,0,0,-1344*w*v0(i),0,0,0,0,34560*w2*w^4];

    t0=roots(p);

    index=find(abs(imag(t0))<=1e-10&real(t0)>0);

    tf(i)=min(t0(index));

    xf(i)=v0(i)*tf(i)-7*tf(i)^4/240/w;

end

plot(tf,xf./v0);hold on;plot(tf,tf,'r');grid on

figure

plot(v0,tf)

figure

plot(v0,xf)

figure

plot(v0,xf-v0.*tf)

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xf和tf與車速v0之間的關(guān)系如下圖所示?？梢?，隨著車速增大，tf逐漸減小并趨于穩(wěn)定值，xf逐漸增大并趨于線性關(guān)系。在低速時(shí)為了保證安全，換道時(shí)間較大；在高速時(shí)為了追求換道效率，換道時(shí)間較小。通過仿真還可以發(fā)現(xiàn)，增大權(quán)重系數(shù)w2時(shí)，tf會(huì)增大，這是因?yàn)闄M向加速度的權(quán)重增大后換道過程更平緩了。

圖2  換道時(shí)間與車速間的關(guān)系

圖3  換道距離與車速間的關(guān)系

定義距離偏差e=xf-v0*tf，該誤差與車速間的關(guān)系如下圖所示，可見，隨著車速的增大偏差逐漸減小，說明換道距離與換道時(shí)間之間的關(guān)系可以用線性來表示。因此，在換道決策以及路徑規(guī)劃時(shí)，可以選擇如下的策略。

圖4  換道距離偏差

圖5   換道時(shí)間