在試驗(yàn)?zāi)B(tài)（二）中我們基于單自由度系統(tǒng)，說明了頻響函數(shù)峰值頻率與固有頻率的關(guān)系，以及用半功率帶寬法進(jìn)行阻尼識(shí)別的精度和誤差，內(nèi)容主要涉及模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼這兩個(gè)參數(shù)。今天，我們將介紹一個(gè)與模態(tài)振型相關(guān)的概念——“留數(shù)”。

—— 1#老槍
留數(shù)的英文單詞是residue，首先請大家留意和模態(tài)分析中帶寬外的上下殘余項(xiàng)（residual term）區(qū)分開。residue和residual兩個(gè)單詞中文雖然都是“剩余”的意思（前者是名詞，后者是形容詞），但留數(shù)和上下殘余項(xiàng)在模態(tài)分析中是兩個(gè)完全不同的概念，二者沒有任何關(guān)系。 在模態(tài)相關(guān)的書籍中，在動(dòng)力學(xué)方程推導(dǎo)后，都會(huì)直接給出傳函的極點(diǎn)（λ）和留數(shù)（A）的表達(dá)形式（公式1），從而給出結(jié)構(gòu)響應(yīng)是各階模態(tài)線性疊加的結(jié)論，但很少說明極點(diǎn)和留數(shù)這兩個(gè)概念的由來。                                                                          

 
對于沒學(xué)過《復(fù)變函數(shù)》的人而言，極點(diǎn)和留數(shù)是兩個(gè)陌生的概念。此外，“留數(shù)”的本來應(yīng)用是復(fù)變函數(shù)的積分運(yùn)算，而模態(tài)分析理論中好像并沒有明顯涉及這個(gè)應(yīng)用。因此，本篇文章將試圖就極點(diǎn)和留數(shù)這兩個(gè)概念的由來，以及在結(jié)構(gòu)模態(tài)領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行簡單闡述，可作為一般模態(tài)理論書籍這方面數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的一個(gè)補(bǔ)充。如果讀者希望更詳細(xì)了解復(fù)變函數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)理論背景，可參閱參考文獻(xiàn)[1]。
這篇文章偏理論，凡牽涉理論，盡管作者想盡量用通俗的語言表述，但鑒于數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)格性，總是閱讀起來會(huì)顯得晦澀難懂，讀者通常都容易半途放棄閱讀。先打個(gè)預(yù)防針，建議感興趣的朋友留出足夠的時(shí)間（≥0.5小時(shí)），在電腦上閱讀，甚至反復(fù)閱讀。

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模態(tài)理論的不同應(yīng)用

首先，因?yàn)槟B(tài)理論涉及的數(shù)學(xué)方程、公式比較多，因此我們有必要先從整體上理清一下模態(tài)理論在不同場合的應(yīng)用。

 我們先說說CAE仿真計(jì)算所牽涉的模態(tài)理論。對于結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)仿真，常見的有兩種分析： 1）模態(tài)分析：對于材料參數(shù)及幾何參數(shù)已知的結(jié)構(gòu)，通過有限元建模，可以構(gòu)建出其質(zhì)量矩陣、剛度矩陣，從而得到多自由度系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)方程。有限元模態(tài)的求解實(shí)際上就是通過矩陣運(yùn)算對自由運(yùn)動(dòng)方程求解。求解完成后，即得到模態(tài)頻率和模態(tài)向量。 2）動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析（直接求解）：基于運(yùn)動(dòng)方程，通過質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣以及力向量的矩陣運(yùn)算，在每個(gè)分析頻率步長下求解運(yùn)動(dòng)方程，依次計(jì)算得到結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)； 3）動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析（模態(tài)疊加法）：基于各階模態(tài)參數(shù)及輸入的模態(tài)阻尼信息，基于模態(tài)線性疊加理論，先得到各輸入自由度到輸出自由度的頻響函數(shù)，而后再計(jì)算出輸入力引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)。模態(tài)疊加法實(shí)際上并不依賴于有限元，不牽涉復(fù)雜的矩陣運(yùn)算，所以計(jì)算速度非?？欤淮送猓B(tài)疊加法可以直接基于試驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果進(jìn)行，只是試驗(yàn)?zāi)B(tài)中的自由度個(gè)數(shù)相對有限。 下面，我們再來說說通過試驗(yàn)獲取模態(tài)參數(shù)的過程。首先對于試驗(yàn)?zāi)B(tài)而言，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度、阻尼特性都是未知的，因此不可能構(gòu)建出結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，也就不可能通過求解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程來求取模態(tài)參數(shù)。 試驗(yàn)?zāi)B(tài)的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)只有通過試驗(yàn)獲取到的輸入到輸出的頻響函數(shù)。那么怎么通過頻響函數(shù)去識(shí)別極點(diǎn)（模態(tài)頻率/模態(tài)阻尼）、模態(tài)振型等參數(shù)呢？ 這就需要把頻響函數(shù)表示為一個(gè)包含這些待求參數(shù)的數(shù)學(xué)模型。這個(gè)數(shù)學(xué)模型當(dāng)然不是隨意構(gòu)建的，它必須能夠真實(shí)反映頻響函數(shù)的相關(guān)特性。實(shí)際上，在下文中我們將看到，頻域試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識(shí)別方法，通常就是將傳遞函數(shù)的有理函數(shù)形式作為其數(shù)學(xué)模型；而時(shí)域模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法，則是將極點(diǎn)留數(shù)形式的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型。 利用試驗(yàn)獲得的頻響函數(shù)（或轉(zhuǎn)化為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)）的各頻譜（采樣點(diǎn)）數(shù)據(jù)，根據(jù)包含代求參量（模態(tài)極點(diǎn)、留數(shù)/振型向量）的數(shù)學(xué)模型，逐一列出方程，然后進(jìn)行方程組求解，從而確定出各階的模態(tài)參數(shù)。這個(gè)過程，很多書上稱之為曲線擬合（Curve Fitting）。 極點(diǎn)留數(shù)概念是模態(tài)線性疊加理論的根源，更是試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，是模態(tài)理論中的關(guān)鍵概念，值得我們深入了解。

2

留數(shù)概念從何而來？

留數(shù)概念來源于數(shù)學(xué)理論，最早由法國數(shù)學(xué)家柯西在研究復(fù)變函數(shù)積分理論時(shí)所提出。所謂復(fù)變函數(shù)就是以復(fù)數(shù)為變量的函數(shù)。在模態(tài)分析理論中，通過對運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行Laplace變換，得到以復(fù)頻率為變量的傳遞函數(shù)，顯然就屬于復(fù)變函數(shù)。 對于一個(gè)復(fù)變函數(shù)，在其孤立奇點(diǎn)λ（對有理函數(shù)而言就是極點(diǎn)）的去心鄰域內(nèi)，可以用洛朗級數(shù)進(jìn)行展開，如公式(2)所示。

所謂的洛朗級數(shù)，類似于傅里葉級數(shù)、泰勒級數(shù)，也是一種函數(shù)的展開形式，只是在我們所熟悉的泰勒級數(shù)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展了負(fù)冪次項(xiàng)。從而使得函數(shù)不僅能在泰勒級數(shù)收斂半徑內(nèi)展開，還可以在整個(gè)復(fù)平面解析范圍內(nèi)展開。

 其中，公式(2)中洛朗級數(shù)的－1冪次項(xiàng)系數(shù)c－1被稱之為該孤立奇點(diǎn) λ 所對應(yīng)的留數(shù)。之所以取名為“留”數(shù)，是因?yàn)楦鶕?jù)等式(2)，如果對函數(shù)f(s)在λ去心鄰域內(nèi)進(jìn)行積分，結(jié)果中將只有這個(gè)(s－λ)－1項(xiàng)殘留下來，其他次冪項(xiàng)積分后都將為零，如公式(3)所示。（證明過程參見附錄1）。

由此，定義 f(s)在極點(diǎn)λ處的留數(shù)為：

 如果f(s)在某區(qū)域內(nèi)包含有多個(gè)（如n個(gè)）孤立奇點(diǎn)，可證明函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的積分與各極點(diǎn)處留數(shù)的關(guān)系為：

 這就是大名鼎鼎的留數(shù)定理。有了留數(shù)定理，就可以解決很多不定積分、定積分的問題。在信號處理中的典型應(yīng)用之一就是用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)變函數(shù)的Laplace逆變換（證明過程見附錄2）：

 上面這個(gè)公式(6)我們將在下一節(jié)中用到，請大家留意。

3

留數(shù)與傳遞函數(shù)怎么扯上的關(guān)系？

上一節(jié)我們說明了留數(shù)概念的起源，但要弄清楚留數(shù)與模態(tài)分析有什么關(guān)系，還需要從結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程說起。

多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，M，C，K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

對等式(7)兩邊進(jìn)行Laplace變換，可得：

其中，位移向量x(s)前的系數(shù)矩陣即為動(dòng)剛度矩陣：

由載荷輸入、位移響應(yīng)、傳遞函數(shù)的關(guān)系，可知：

根據(jù)線性代數(shù)理論，矩陣求逆可通過其伴隨矩陣及行列式進(jìn)行求解：

其中，|Z(s)|是動(dòng)剛度矩陣的行列式，adj[Z(s)]是動(dòng)剛度矩陣的伴隨矩陣。

 對于n個(gè)自由度的系統(tǒng)而言，H(s)、Z(s)以及adj[Z(s)]均是n×n的矩陣。觀察動(dòng)剛度矩陣Z(s)中元素的構(gòu)成，可知：

• Z(s)矩陣中每個(gè)元素最高次項(xiàng)為s2，因此行列式| Z(s)| 是最高次項(xiàng)為s2n的多項(xiàng)式。

• 伴隨矩陣中的每個(gè)元素對應(yīng)的是矩陣行列式中相應(yīng)位置元素的代數(shù)余子式，因此adj[Z(s)]矩陣中每個(gè)元素是最高次項(xiàng)為s2(n-1)（或更低次項(xiàng)）的多項(xiàng)式。

 因此，傳函矩陣H(s)中各自由度間的每個(gè)傳函均為有理函數(shù)，其分母是最高次項(xiàng)為s2n的多項(xiàng)式（且均相同），分子是最高次項(xiàng)為s2n-2的多項(xiàng)式（但各不相同），如公式(12)為矩陣中某一個(gè)傳函的具體表達(dá)形式。

對應(yīng)分母多項(xiàng)式的n對共軛零點(diǎn)，傳函有n對共軛極點(diǎn)：λ1，?，λn；λ1*，?，λn*。因?yàn)槊總€(gè)傳函的分母多項(xiàng)式都是一樣的，因此有相同的極點(diǎn)，也就是說傳函的極點(diǎn)反映的是系統(tǒng)的整體特性。
實(shí)際上在試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中，正交多項(xiàng)式法（OP）、最小二乘復(fù)頻域法（LSCF及PolyMAX）等頻域模態(tài)極點(diǎn)識(shí)別算法，所基于的傳遞函數(shù)數(shù)學(xué)模型正是公式(12)中的有理函數(shù)形式。根據(jù)分析帶寬內(nèi)各譜線上的數(shù)據(jù)逐個(gè)列方程，構(gòu)建方程組，求解出分母多項(xiàng)式中的各項(xiàng)系數(shù)a0，a1，……，an，再進(jìn)一步求得極點(diǎn)。 公式(12)中分子多項(xiàng)式對應(yīng)的是adj[Z(s)]矩陣中的某個(gè)元素，因此不同自由度間傳函的分子多項(xiàng)式顯然各不相同。對應(yīng)n對共軛極點(diǎn)，每個(gè)傳函都有各自的n對共軛留數(shù)：A1，?，An；A1*，?，An*。根據(jù)公式(6)，用留數(shù)定理對公式(12)中的H(s)進(jìn)行Laplace逆變換，即得到其時(shí)域脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)：

注意公式(13)，實(shí)際上就是試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中時(shí)域方法（最小二乘復(fù)指數(shù)法，LSCE）所使用的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)單位脈沖響應(yīng)函數(shù)上各采樣點(diǎn)的數(shù)據(jù)逐個(gè)列方程，然后再借助Prony多項(xiàng)式構(gòu)建自回歸模型，即求得極點(diǎn)。
對公式(13)兩邊重新再進(jìn)行Laplace變換，可得：

而我們知道  ，帶回公式(14)，由此就得到我們所熟悉的傳函的留數(shù)表達(dá)形式：

仔細(xì)觀察公式(15)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，留數(shù)（Ak）實(shí)際上就是將傳函進(jìn)行部分分式分解后，各一次分式函數(shù)（分母一次項(xiàng)系數(shù)為1）的系數(shù)。這看似是一種巧合，實(shí)際是一種必然。因?yàn)閷τ趥鬟f函數(shù)而言，其極點(diǎn)均是一階簡單極點(diǎn)。 因?yàn)樵诟鳂O點(diǎn)處每個(gè)頻響都對應(yīng)有自己的一組留數(shù)，所以留數(shù)反映的是各個(gè)自由度的局部特性。此外，將傳函表示為極點(diǎn)留數(shù)形式后，觀察線性加和中的每一項(xiàng)（如  ），不正是極點(diǎn)為λk的某單自由度系統(tǒng)的傳遞函數(shù)么？因此，多自由度系統(tǒng)各自由度的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)，均可以被分解到各階模態(tài)極點(diǎn)下，是各階模態(tài)下某單自由度系統(tǒng)響應(yīng)的線性疊加。這就是模態(tài)線性疊加理論。
 

4

留數(shù)怎么計(jì)算得到？

 對于留數(shù)的求解，當(dāng)極點(diǎn)為一階極點(diǎn)時(shí)，可以直接用求極限方法（規(guī)則I）來求?。?

特別地，對于傳遞函數(shù)這樣的有理函數(shù)：

其中，Q(s) 為s的2n次分母多項(xiàng)式，P(s) 為s的2n－2次分子多項(xiàng)式。對應(yīng)各一階極點(diǎn)，可利用分母多項(xiàng)式求導(dǎo)法（規(guī)則III）來計(jì)算留數(shù)：

5

一個(gè)兩自由度系統(tǒng)的實(shí)例

下面，為了對極點(diǎn)和留數(shù)有更具體的認(rèn)識(shí)，我們以如圖1所示的兩自由度無阻尼系統(tǒng)為例，來說明極點(diǎn)和留數(shù)的計(jì)算過程。m1 = 1kg，m2 = 2kg，k1 = 100N/m，k2 = 150N/m。

圖1兩自由度無阻尼系統(tǒng)示意圖
系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：

對上式進(jìn)行Laplace變換：

得動(dòng)剛度矩陣為：

傳遞函數(shù)為：

其中：

則：

令  ，解方程，可計(jì)算得到傳函的兩對共軛極點(diǎn)為：

將傳函表示為極點(diǎn)留數(shù)的形式（下標(biāo)i，j分別對應(yīng)輸出和輸入自由度）：

下面我們用求導(dǎo)法確定其中的留數(shù)。先以H11為例：

將(26)中各極點(diǎn)分別帶入(28)，求得所對應(yīng)的留數(shù)：

因此，H11的極點(diǎn)留數(shù)表達(dá)形式為：

同理，可得H12，H21，H22的極點(diǎn)留數(shù)表達(dá)形式：

因此，傳函矩陣H(s)可以表示為：

現(xiàn)在我們來觀察最終結(jié)果中的留數(shù)矩陣，我們發(fā)現(xiàn)每行之間或每列之間都是等比例縮放的，相差的只是一個(gè)系數(shù)。比如  ，兩行或兩列之間的比例都是2 : 3。 這難道是巧合么？當(dāng)然不是，其實(shí)這就是留數(shù)和振型向量之間的內(nèi)在關(guān)系所在，這一點(diǎn)我們留待下一篇文章中再詳細(xì)說明。 

6

小結(jié)

 本篇文章內(nèi)容可用如下流程概括： 

 清明假期，國內(nèi)疫情形式嚴(yán)峻，希望這只是新冠病毒的回光返照。上海、吉林等疫情比較嚴(yán)重地區(qū)的朋友們多多保重，希望大家的生活早日恢復(fù)常態(tài)！我們下期文章見！

附錄1 留數(shù)定理的證明

證明：  （n為自然數(shù)），Γ為孤立奇點(diǎn)z0的任意去心鄰域邊界。
證：取C為  ，即繞奇點(diǎn)z0的一個(gè)閉合圓曲線，如圖2所示：

圖2 繞奇點(diǎn)z0的構(gòu)造一個(gè)閉合圓曲線C

C曲線的方程為：

由柯西積分定理，知：

將(34)帶入積分，得到：

分別討論 n = 1和 n ≠ 1的兩種情況，即可得：

附錄2 拉普拉斯變換留數(shù)表達(dá)的推導(dǎo)

拉普拉斯逆變換：

如圖3，構(gòu)造一個(gè)閉合區(qū)域（邊界C由直線積分路徑及半圓構(gòu)成）：

圖3 Laplace變換構(gòu)造閉合積分區(qū)域
 由于當(dāng)R→∞時(shí)，可證明半圓路徑上的積分為零（若爾當(dāng)引理），由公式(5)留數(shù)定理，可得：

將公式(39)帶回(38)，即可得：

 參考文獻(xiàn)1. 李紅, 謝松法, 復(fù)變函數(shù)與積分變換.第5版. 2018: 高等教育出版社.