在上篇文章《管道振動(dòng)的診斷和解決方案 - Part I》中，我們提到管道的機(jī)械振動(dòng)會(huì)造成疲勞失效問(wèn)題。那接下來(lái)一個(gè)很重要的問(wèn)題就是，如何評(píng)估管道由于振動(dòng)引起的疲勞失效問(wèn)題。在這篇文章中我們將探討這個(gè)問(wèn)題。

01、疲勞強(qiáng)度評(píng)估的基本原理

首先，我們需要簡(jiǎn)要地介紹一下疲勞強(qiáng)度的基本原理。在1830年，人們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到一個(gè)相對(duì)于一般機(jī)械強(qiáng)度，較低往復(fù)式的應(yīng)力同樣可以造成金屬的斷裂。隨后，標(biāo)稱(chēng)應(yīng)力法（S-N curve）應(yīng)運(yùn)而生。這種方法主要是為了理解動(dòng)態(tài)應(yīng)力與出現(xiàn)金屬斷裂的時(shí)間的關(guān)系。一個(gè)典型對(duì)于金屬的S-N曲線如下圖所示：

對(duì)于S-N曲線，它的橫坐標(biāo)是金屬元件加載周期性往復(fù)力的次數(shù)，縱坐標(biāo)是相應(yīng)的極限疲勞波峰-波峰應(yīng)力范圍（peak-to-peak range）。對(duì)于特定的往復(fù)力次數(shù)，當(dāng)此元件的最大疲勞應(yīng)力范圍大于S-N上所示的極限應(yīng)力的數(shù)值時(shí)，這個(gè)元件就有極高的風(fēng)險(xiǎn)出現(xiàn)疲勞失效。

對(duì)于任何機(jī)械元件，一般都有設(shè)計(jì)的使用壽命。我們假設(shè)這個(gè)使用壽命是  年；與此同時(shí)，假設(shè)這臺(tái)機(jī)器每天24個(gè)小時(shí)不停地運(yùn)轉(zhuǎn)，那么這個(gè)元件設(shè)計(jì)的最大往復(fù)力加載的次數(shù)為：

其中  是這個(gè)周期往復(fù)力的頻率。值得注意的是，這個(gè)S-N曲線法僅僅適用于高周疲勞（high cycle fatigue）的情況。也就是說(shuō)，金屬元件始終是處于彈性形變的狀態(tài)。對(duì)于低周疲勞(low cycle fatigue)的情況，由于塑性變形（plastic deformation）對(duì)于整體的疲勞失效有很大的貢獻(xiàn)，所以說(shuō)，應(yīng)該使用基于應(yīng)變的疲勞失效理論。

對(duì)于管道的振動(dòng)問(wèn)題，它往往和管道的固有頻率有關(guān)。可以看到，管道的固有頻率往往都是在100Hz以上。也就是說(shuō)，機(jī)械振動(dòng)所造成的位移都是相對(duì)較小的。因此，振動(dòng)所造成的動(dòng)態(tài)應(yīng)變往往還是在材料的彈性區(qū)間以?xún)?nèi)。所以，高周疲勞還是通常比較普適的。因此，在接下來(lái)的文章中，我們主要討論如何使用S-N曲線來(lái)判斷管道的疲勞失效。

除了上述所述的動(dòng)態(tài)應(yīng)力對(duì)于材料疲勞特性的影響外，另一個(gè)重要的因素是管道內(nèi)的壓力所造成的靜態(tài)應(yīng)力（mean stress）。在1899年時(shí)，Goodman做了一系列的實(shí)驗(yàn)，最終擬合出了一條直線。這條直線也被稱(chēng)為Goodman曲線（如下圖所示）。

從這條Goodman曲線中，我們可以看到，隨著靜態(tài)應(yīng)力的增加，疲勞應(yīng)力極限會(huì)相應(yīng)降低。根據(jù)這條Goodman曲線，我們可以使用下面這個(gè)式子判斷金屬元件是否會(huì)疲勞失效：

 σσσσω 

其中 σ 是靜態(tài)應(yīng)力， σ 是材料的極限拉應(yīng)力， σ 是材料所受到的最大往復(fù)應(yīng)力范圍， σω 是材料的疲勞應(yīng)力極限，  是安全系數(shù)。當(dāng)上面這個(gè)表達(dá)式成立時(shí)，金屬元件在很大概率上不會(huì)有疲勞失效問(wèn)題。值得注意的是，對(duì)于金屬元件不同的設(shè)計(jì)壽命，我們將會(huì)使用不同的最大疲勞應(yīng)力極限（ σω ）。

02、常見(jiàn)金屬的疲勞S-N曲線

通常情況下，疲勞強(qiáng)度極限值都是通過(guò)材料測(cè)試來(lái)確定的。傳統(tǒng)上而言，我們一般認(rèn)為，對(duì)于低碳鋼和鑄鐵材料，當(dāng)試件循環(huán)加載107次后，疲勞測(cè)試強(qiáng)度將不會(huì)繼續(xù)下降（如下圖所示）。而對(duì)于鋁合金材料，疲勞強(qiáng)度會(huì)隨著加載次數(shù)的增加而繼續(xù)下降。最新的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，即使對(duì)于很多的低碳鋼和鑄鐵試樣，甚至在加載108后，疲勞強(qiáng)度還是依然會(huì)隨著加載次數(shù)的增加而下降。這可能是由于在切削加工或者是焊接時(shí)，對(duì)材料內(nèi)部產(chǎn)生了微裂紋（micro-cracks）。感興趣的讀者可以閱讀Bathias等所著的論文【1】。

不過(guò)對(duì)于工程應(yīng)用而言，我們依舊使用經(jīng)典假設(shè)，即當(dāng)一個(gè)材料在經(jīng)歷107加載后不會(huì)產(chǎn)生疲勞失效，就認(rèn)為它不會(huì)產(chǎn)生疲勞失效問(wèn)題。對(duì)照不同材料的疲勞強(qiáng)度極限，在不同的標(biāo)準(zhǔn)中，都會(huì)有相應(yīng)的計(jì)算方法。感興趣的讀者可以去閱讀英國(guó)標(biāo)準(zhǔn)BS7608（PD5500）或者是美國(guó)標(biāo)準(zhǔn) ASME code Section III。

03、管道的疲勞分析

對(duì)于一個(gè)典型的管道疲勞分析，最簡(jiǎn)單的方式就是使用應(yīng)變片來(lái)直接測(cè)量靜態(tài)與動(dòng)態(tài)應(yīng)力。但在實(shí)際工程上，這種方法還是存在一定的缺陷，下面讓我們看一個(gè)實(shí)際的管道案例。下圖顯示了一臺(tái)工程機(jī)械內(nèi)的管道系統(tǒng)。從下圖中，我們可以看到這根管道是由不同的次級(jí)管道焊接而成的。

對(duì)于疲勞失效，它往往更容易出現(xiàn)在焊接點(diǎn)附近，主要原因是：在焊接過(guò)程中，焊接點(diǎn)周邊的金屬將承受更高的溫度，這些高溫會(huì)在金屬內(nèi)部造成許多微裂紋（micro-cracks），從而造成更低的疲勞強(qiáng)度。遺憾的是，這些微裂紋的分布在同一焊接平面內(nèi)并不是均勻的。也就是說(shuō)，較低的疲勞強(qiáng)度可能出現(xiàn)在管道焊接截面上的任意位置。

回到我們所說(shuō)的應(yīng)變片應(yīng)力測(cè)試的問(wèn)題，可以看到，在焊接管道的截面上，焊接的質(zhì)量也不一定完全一致。由于這個(gè)原因，在不同位置所能測(cè)到的應(yīng)力集中系數(shù)（stress concentration factor）也會(huì)有所不同。在這種情況下，就很難判斷在哪個(gè)位置需要貼應(yīng)變片來(lái)測(cè)試應(yīng)力。

其次，我們可以看到，由于應(yīng)力集中的原因，在接近焊趾的金屬位置，它所受到的應(yīng)力將遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于遠(yuǎn)離焊趾的位置，并且，應(yīng)力測(cè)試距離與最大應(yīng)力的關(guān)系是一條類(lèi)似于雙曲線的關(guān)系。

對(duì)于一般的應(yīng)變片而言，它有一定的尺寸。我們所測(cè)到的應(yīng)力值是在應(yīng)變片所粘貼的面積上的平均應(yīng)力。也就是說(shuō)，在焊趾附近貼上的一個(gè)應(yīng)變片所測(cè)試到的平均應(yīng)力很有可能比實(shí)際上的最大應(yīng)力值(hot-spot stress)更低，從而導(dǎo)致我們低估了這個(gè)金屬元件的最大動(dòng)態(tài)應(yīng)力。

還有一個(gè)更重要的原因是難以決定應(yīng)變片粘貼的位置。由于工程上使用的管道普遍是三維的，我們很難預(yù)測(cè)最大的振動(dòng)出現(xiàn)在哪個(gè)方向上，所以最大應(yīng)力在管道截面上出現(xiàn)的位置也往往難以確定。如果我們只進(jìn)行應(yīng)變測(cè)試，需要粘貼許多應(yīng)變片。而應(yīng)變片測(cè)試往往相對(duì)比較復(fù)雜，特別是應(yīng)變片的電氣絕緣較難實(shí)現(xiàn)。所以，通常對(duì)于應(yīng)變片會(huì)獲得更高的背景噪聲。更麻煩的是，對(duì)于高頻振動(dòng)，結(jié)構(gòu)所受的應(yīng)變往往相對(duì)較小，一般應(yīng)變片的信噪比并不足以獲得可靠的應(yīng)力數(shù)值，所以，應(yīng)變測(cè)試一般不是一個(gè)很容易且方便快速的選擇。

相對(duì)而言，使用加速度計(jì)進(jìn)行的振動(dòng)測(cè)試往往十分便捷可靠迅速。除此之外，我們可以看到，在很多狀況下，振動(dòng)的數(shù)值直接與機(jī)械應(yīng)力呈正比。所以往往可以使用管道最大的振動(dòng)值來(lái)進(jìn)行疲勞失效的篩查方法。在下一小節(jié)，我們將介紹一種基于振動(dòng)速度的簡(jiǎn)化方法來(lái)判斷管道疲勞失效的可能性。

04、基于振動(dòng)管道疲勞失效篩選方法

為了建立管道的最大速度與最大動(dòng)應(yīng)力（dynamic stress）的關(guān)系，我們需要判斷管道的振型（mode shape）?；谡裥?，可以推導(dǎo)出管道彎曲的曲率（curvature），通過(guò)這個(gè)曲率我們可以推導(dǎo)在邊界條件處（boundary condition）的最大應(yīng)力。不過(guò)這個(gè)過(guò)程需要相對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模，一般不利于工程應(yīng)用。在下一篇文章中，我們將會(huì)詳細(xì)介紹。在這一小節(jié)，我們僅僅介紹一種工程上常用的方法，這個(gè)方法是基于德國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)VDI3842 [2]。

下圖是在VDI3842第7.2.3節(jié)提供的一種基于最大RMS振動(dòng)速度的判斷準(zhǔn)則。

值得注意的是，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中的曲線只能適用于初步的分析。原因有二：（1）這個(gè)圖僅僅適用于300Hz以下的振動(dòng)，對(duì)于很多應(yīng)用而言，振動(dòng)頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于300Hz，它將不再適用；（2）這個(gè)振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)是基于石化行業(yè)經(jīng)驗(yàn)而來(lái)的，也就是說(shuō)，它只適用于管徑和管道支撐間隔，類(lèi)似于石化行業(yè)的管道，對(duì)于很多應(yīng)用它并不適用。所以，我們需要使用其他的方法來(lái)將管道振動(dòng)轉(zhuǎn)化為最大的應(yīng)力。由于這個(gè)原因，VDI標(biāo)準(zhǔn)也提供了另外一種方法來(lái)完成這個(gè)轉(zhuǎn)換。在這個(gè)方法中，確定最大應(yīng)力的近似公式是：

 σθμ 

其中各個(gè)參數(shù)的定義如下所示：

•   是對(duì)于管道中存在離散的質(zhì)量（Discrete mass）的修正系數(shù)

•   是對(duì)于管道的形狀的修正系數(shù)

•  θ 是對(duì)于管道振型的修正系數(shù)

•   是測(cè)量到的最大的振動(dòng)速度

•   是材料的彈性模量

•  μ 是單位長(zhǎng)度的管道質(zhì)量

•   是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

首先，我們可以來(lái)看一下質(zhì)量修正系數(shù)  。在通常的管道系統(tǒng)中，由于我們會(huì)使用法蘭來(lái)對(duì)兩段不同的管道進(jìn)行連接。法蘭盤(pán)的質(zhì)量往往會(huì)高于管道的質(zhì)量，所以這就會(huì)造成在管道系統(tǒng)中出現(xiàn)一些集中質(zhì)量。這些集中質(zhì)量對(duì)于最大應(yīng)力的影響可以使用fM來(lái)修正。在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)中，它提供了典型結(jié)構(gòu)的集中質(zhì)量修正系數(shù)：

其次，我們來(lái)討論下對(duì)于管道結(jié)構(gòu)的修正系數(shù)  ；例如，如果管道上存在一些常見(jiàn)的部件時(shí)，它對(duì)于管道彎曲的曲率影響補(bǔ)償系數(shù)。

再次，我們來(lái)討論管道振型 θ 的補(bǔ)償系數(shù)。通過(guò)基本的振動(dòng)理論，可以很容易得知，振動(dòng)所造成的位移比系統(tǒng)的靜態(tài)位移往往可以放大很多倍。從本節(jié)最開(kāi)始所提出的公式來(lái)看，我們所計(jì)算的最大應(yīng)力還是基于簡(jiǎn)支梁或者懸臂梁的第一階振型所做的分析。所以，對(duì)于其他邊界條件，振動(dòng)模態(tài)振型就必須進(jìn)行相應(yīng)的修正。下面的表格中就列出一些常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)的模態(tài)修正系數(shù)。值得注意的是，所有這些結(jié)構(gòu)的模態(tài)修正系數(shù)都是基于這些結(jié)構(gòu)的第一階彎曲振動(dòng)。對(duì)于高階振動(dòng)，這些修正系數(shù)將會(huì)造成一定程度的誤差。

可以看到，以上這些修正都是基于一系列很有限的結(jié)構(gòu)。比如說(shuō)，對(duì)于集中質(zhì)量的修正，它只提供了三種不同邊界條件，并且，集中質(zhì)量的位置對(duì)于模態(tài)也會(huì)有影響，這些影響并沒(méi)有考慮到這個(gè)修正系數(shù)中。同樣地，對(duì)于模態(tài)振型的修正，也存在同樣的問(wèn)題。對(duì)于實(shí)際的管道系統(tǒng)，它遠(yuǎn)遠(yuǎn)比我們看到的例子復(fù)雜，如果僅僅使用上表中的結(jié)構(gòu)，只能尋找最為類(lèi)似的結(jié)構(gòu)。在這種情況下，會(huì)引入更多的誤差，最終造成對(duì)于管道結(jié)構(gòu)的過(guò)度設(shè)計(jì)。由于這些問(wèn)題，我們需要引入更復(fù)雜的方法（Rayleigh-Ritz法或者有限元的方法）來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。在下一篇文章中，我們首先會(huì)用一些簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)來(lái)驗(yàn)證這個(gè)VDI的方法，之后會(huì)簡(jiǎn)要介紹Rayleigh-Ritz法來(lái)求解結(jié)構(gòu)的振型，隨后，這些振型將用來(lái)求解最大應(yīng)力。最后，我們將用一個(gè)實(shí)際的例子來(lái)解釋如何使用這種方法來(lái)評(píng)估管道結(jié)構(gòu)的疲勞。

參考：

[1] Bathias C, Drouillac L, Le Francois P. How and why the fatigue S–N curve does not approach a horizontal asymptote[J]. International journal of fatigue, 2001, 23: 143-151.

[2] VDI (2004). VDI 3842:2004-6 Vibrations in piping systems, Verein Deutscher Ingenieure, Düsseldorf, 87

作者簡(jiǎn)介

Dr Ning Tang，謝菲爾德大學(xué)博士，博士后?，F(xiàn)在混跡在歐洲某工程機(jī)械公司，主要從事振動(dòng)和噪聲的被動(dòng)控制。學(xué)術(shù)研究方向?yàn)榉蔷€性調(diào)諧質(zhì)量塊阻尼器的設(shè)計(jì)，非線性材料的阻尼研究，橡膠材料動(dòng)態(tài)特性的研究以及轉(zhuǎn)動(dòng)葉片的振動(dòng)監(jiān)測(cè)。私人微信為mep10nt，同時(shí)運(yùn)營(yíng)的公眾號(hào)為：Rayleigh的追隨者。