這里的頻率ω=2π/τ, τ表示計(jì)劃運(yùn)動(dòng)的周期。a1，b1，c1， a2,，b2和c2是待確定的設(shè)計(jì)參數(shù)。在此過(guò)程中，控制輸入v1和v2均為

正弦函數(shù)，為實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)了方便。對(duì)(6)積分一段時(shí)間，根據(jù)狀態(tài)y和φ的目標(biāo)值，可以確定偏差c1和c2。根據(jù)輸入的擴(kuò)展形式，周期過(guò)后輸入v1的值保持不變。這里我們考慮兩種情況。如果一步過(guò)程改變了車輛方向，那么車輛的初始或最終速度應(yīng)該為零，以滿足v1(0)=v1(τ)=0的關(guān)系，因?yàn)槲覀兛偸莾A向于根據(jù)初始或目標(biāo)配置來(lái)選擇全局幀。如果一步過(guò)程不改變車輛方向，則始終滿足上述關(guān)系。由于我們不應(yīng)該要求車輛在計(jì)劃的時(shí)間前后停下，一步法更適用于橫向運(yùn)動(dòng)的情況(如變道)。接下來(lái)，我們主要關(guān)注橫向運(yùn)動(dòng)情況，選擇與初始構(gòu)型一致的全局參照系。顯然，v1(0)=0表示b1+c1=0。除非我們選擇a1=0，那么v1剖面將穿過(guò)零點(diǎn)。接下來(lái)，我們建立(6)中的六個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系，以確保 α 值在一步過(guò)程之后不會(huì)改變。根據(jù)系統(tǒng)(4)和控制規(guī)則(6) ，對(duì)前輪轉(zhuǎn)向角度進(jìn)行了如下整合，

對(duì)于系統(tǒng)(4)的結(jié)構(gòu)，我們把狀態(tài)方程α看作一個(gè)類似的鏈?zhǔn)叫问剑驗(yàn)楫?dāng)轉(zhuǎn)向角接近零時(shí)，函數(shù)tan (φ)≈ φ。擴(kuò)展功能

用它的傅里葉級(jí)數(shù)，我們有，

通過(guò)對(duì) α 的微分方程積分一個(gè)周期，最終的值可以得到如下，

由于正弦曲線的良好特性，只有幾個(gè)項(xiàng)有助于α的變化。對(duì)于這些項(xiàng)的解析表達(dá)式，根據(jù)(7)近似得到以下傅里葉系數(shù)，

將這些值代入方程(9)，我們得到，

這里我們得到了α的轉(zhuǎn)移函數(shù)的一個(gè)線性估計(jì)。此外，如前所述，在建議的一步過(guò)程之后，車輛的方向不應(yīng)該改變，也就是說(shuō)，

將

代入(12) ，得到

。假設(shè)平面運(yùn)動(dòng)前后的轉(zhuǎn)向角

為零也是合理的，導(dǎo)致

。遵循這些原則，系統(tǒng)(3)的開(kāi)環(huán)控制規(guī)則可以概括為：

其中

是一個(gè)給定值不大于物理極限的最大轉(zhuǎn)向角。根據(jù)給定的控制規(guī)則，可以精確地實(shí)現(xiàn)所需的橫向運(yùn)動(dòng)，并且通過(guò)積分(3)中的第一個(gè)方程來(lái)確定縱向位移

。如果目標(biāo)的縱向位置大于

，我們可以用一條直線路徑來(lái)補(bǔ)償這一誤差，這條直線路徑可以在計(jì)劃的橫向運(yùn)動(dòng)之前或之后靈活安排。

然而，一個(gè)約束，我們應(yīng)該進(jìn)一步考慮來(lái)自初始車速

。根據(jù)(13)中的

控制規(guī)則，當(dāng)t→0時(shí)，分子和分母都收斂到零。我們根據(jù)洛必達(dá)法則表示初始速度，

該方程建立了給定

的周期τ與最大轉(zhuǎn)向角

之間的關(guān)系。這意味著不可能同時(shí)調(diào)整路徑模式(用

)和周期時(shí)間。此外，由于

是上界的，因此τ的周期不能任意小。在緊急情況下，如規(guī)避轉(zhuǎn)向，τ的限制可能是不可取的。為了擺脫約束(14) ，我們建議引入一對(duì)對(duì)稱的過(guò)渡期，以幫助實(shí)現(xiàn)可調(diào)速度分布。進(jìn)入/離開(kāi)過(guò)渡的周期表示為

。在入口過(guò)渡的開(kāi)始，我們?cè)噲D增加轉(zhuǎn)向角度盡可能快到

產(chǎn)生初始橫向速度

。類似地，當(dāng)人類駕駛員在回避轉(zhuǎn)向和回收情況下做出反應(yīng)時(shí)，在離開(kāi)過(guò)渡結(jié)束時(shí)，我們可以很快地將轉(zhuǎn)向角度恢復(fù)到零。不考慮開(kāi)始/結(jié)束脈沖，(13)中的控制規(guī)則可以修改為，

其中

是初始車速。然而，現(xiàn)在(6)中參數(shù)的確定是不同的。原點(diǎn)條件

和

轉(zhuǎn)化為，

為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們?nèi)匀贿x擇