2.1  二自由度模型

將車輛的橫向控制模型簡化為線性二自由度汽車模型，僅考慮車輛的橫向位移和橫擺角速度，如圖3所示。其中坐標系的原點C與車輛的重心重合，車輛橫向加速度為Vy，縱向速度為Vego，橫擺角速度為ωr。

圖3 四輪轉向車輛二自由度模型

由車輛運動學知識得，二自由度模型的方程為：

設車輛前后軸兩輪胎的側向合力為Fyf和Fyr，忽略回正力矩，則：

在二自由度模型中，前輪的橫向速度為：

后輪的橫向速度為：

車輛前后軸都是轉向軸，設前后輪的轉向角為δf和δr，則：

由于輪胎的側偏角很小，則前后輪的側偏角可近似為：

假設輪胎工作在線性區(qū)，則前后輪的側向力為：

與前輪轉向車輛相比，4WS系統(tǒng)的側向力和橫擺扭矩均多出了由后輪轉角引起的附加增量，這也是4WS系統(tǒng)可以改善車輛操縱穩(wěn)定性的根本原因所在。根據(jù)（3）-（12）可得：

對式（13）和（14）進行變換可得4WS的狀態(tài)空間模型：

其中，Iz為車輛的轉動慣量（kg.m2），Caf和Car分別為車輛前后輪的側偏剛度（N/rad），δf和δr分別為前后輪轉角（rad）。

2.2  穩(wěn)態(tài)轉向特性

4WS的后輪轉向角輸入通常由兩部分信息決定：一部分是正比于前輪轉向角的輸入，另一部分是與側向加速度有關的輸入，其中側向加速度由縱向車速與橫擺角速度確定。假定四輪轉向系統(tǒng)的后輪轉向角控制輸入為：

其中，Gδ為前后輪轉向角之比，Ga為車輛側向運動狀態(tài)的反饋增益。則二自由度模型可簡化為

當Gδ=Ga=0時，模型(17)等效于前輪轉向車輛的二自由度模型。當車輛穩(wěn)態(tài)行駛時，車輛的穩(wěn)定行駛狀態(tài)即為車輛二自由度模型的平衡點即

根據(jù)(17)和(18)可得平衡點為

車輛穩(wěn)態(tài)轉向行駛時，四輪轉向系統(tǒng)的控制目標是使穩(wěn)態(tài)質心側偏角為0，即橫向運動速度的穩(wěn)態(tài)值為0，可得

則前后輪轉向角之比為

因此，四輪轉向系統(tǒng)(16)按照(21)來設定前后輪轉向角之比時，就可以保證車輛穩(wěn)態(tài)行駛時的橫向運動速度為0，而該前后輪轉向角比隨車輛行駛速度變化而變化。根據(jù)(21)可得臨界速度滿足關系式

則可得臨界速度為

在臨界車速V0附近時，前后輪轉向角之比Gδ約為0，此時四輪轉向系統(tǒng)(16)等價于前輪轉向系統(tǒng)。如下圖所示，當車速小于V0即低速時，前后輪轉向角之比Gδ為負值，前后輪轉動方向相反，可減小轉彎半徑，提高車輛的通過性與操縱靈活性；當車速大于V0即高速時，前后輪轉向角之比Gδ為正值，前后輪轉動方向相同，車輛側向加速度響應時間縮短，橫擺角速度響應也大幅減小。

圖4 前后輪轉向角之比隨車速的變化曲線圖

四輪轉向系統(tǒng)(16)按照(21)來設定前后輪轉向角之比時，根據(jù)(19)可得車輛的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度響應為

其中，穩(wěn)定性因數(shù)為

當車速大于臨界速度V0時，由于前后輪轉向角之比Gδ為正值，因此，根據(jù)(24)可得四輪轉向車輛的橫擺角速度比兩輪轉向車輛的橫擺角速度大幅減小。此外，根據(jù)穩(wěn)定性因數(shù)(25)可得，前后輪轉向角之比Gδ并不改變車輛的轉向特性，而車輛側向運動狀態(tài)反饋增益Ga>0的引入增加了車輛不足轉向的趨勢，隨著車速的增加，將更好地抑制穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益，這說明了正比例系數(shù)Ga的引入對4WS車輛的操縱穩(wěn)定性起著非常重要的作用。

2.3  楔形移動特性

上節(jié)中分析了4WS車輛的穩(wěn)態(tài)轉向特性，四輪轉向系統(tǒng)(16)的控制目標是使穩(wěn)態(tài)質心側偏角為0，即橫向運動速度的穩(wěn)態(tài)值為0。當4WS車輛做楔形移動時，四輪轉向系統(tǒng)(16)的控制目標是使穩(wěn)態(tài)橫擺角速度為0，根據(jù)(19)可得前后輪轉向角之比Gδ為

根據(jù)(19)可得，比例系數(shù)Ga對橫向運動速度的穩(wěn)態(tài)值沒有影響，則可取Ga=0，則此時的四輪轉向系統(tǒng)(16)為

此時，前后輪轉角相等，4WS車輛做楔形移動，車輛的穩(wěn)態(tài)側偏角為

2.4  前輪轉向和四輪轉向的區(qū)別

當四輪轉向系統(tǒng)(16)按照(21)來設定前后輪轉向角之比Gδ且假設比例系數(shù)Ga=0.001時，根據(jù)車輛的二自由度模型(15)對4WS車輛的操縱性能進行仿真分析，并與前輪轉向車輛的操縱穩(wěn)定性進行比較。本節(jié)給出兩種典型工況下的仿真結果，通過與前輪轉向車輛的仿真結果對比來加以解釋說明。本次仿真所采用的車輛參數(shù)如下表所示。

表1 仿真所采用的車輛參數(shù)

根據(jù)式(23)計算得到對應的臨界速度在13.5m/s左右。1.階躍轉角輸入工況車速分別取10m/s、20m/s、30m/s三種工況，兩輪轉向車輛和四輪轉向車輛的前輪轉角輸入都是10°，4WS車輛的前后輪轉角輸入如圖5所示。由圖可見，當車速小于臨界速度時，前后輪轉動方向相反，可減小轉彎半徑，提高車輛的通過性與操縱靈活性；當車速大于臨界車速時，前后輪轉動方向相同，且速度越快后輪轉角越大，有助于改善車輛的橫擺角速度響應。

圖5  前后輪轉角輸入

前輪轉向車輛與四輪轉向車輛的操縱動力學響應對比結果包括側向速度與側向位移響應、橫擺角速度響應依次如下圖所示。由圖6可見，四輪轉向車輛穩(wěn)態(tài)運動時沒有側偏現(xiàn)象，且瞬態(tài)過程的側偏角也小于前輪轉向車輛，速度越快瞬態(tài)控制效果越明顯，同時，對于四輪轉向車輛，車速越快側向速度越大，但最終都將趨近于0。由圖7可見，兩輪轉向車輛存在明顯的側偏現(xiàn)象，且車速越快側偏越嚴重，而四輪轉向車輛的側偏角明顯小于兩輪轉向車輛。由圖8可見，兩輪轉向車輛的橫擺角速度隨著車速的增大而增大，四輪轉向車輛的橫擺角速度隨著車速的增加而減小，這是因為高速時，前后輪為同位轉向，橫擺角速度減小，而在低速時，四輪轉向車輛采用逆位轉向策略，減小了轉彎半徑但是略微增大了橫擺角速度，不過與兩輪轉向車輛相比還是具有較大的優(yōu)勢，尤其是高速時的優(yōu)勢更明顯。由圖9可見，四輪轉向系統(tǒng)增加了車輛不足轉向的趨勢，隨著車速的增加，將更好地抑制穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益，這也說明了正比例系數(shù)Ga的引入對4WS車輛的操縱穩(wěn)定性起著非常重要的作用。

圖6  側向速度響應

圖7  側向位移響應