輪胎力學特性影響車輛的動力學性能，如操縱穩(wěn)定性、平順性、安全性等，隨著仿真技術進步，車輛運動模擬可通過仿真手段實現(xiàn)，更有助于車輛零部件和底盤前期設計，但這些需要提供能準確反映輪胎和路面的力和力矩的參數(shù)。實際車輛運動時輪胎會產(chǎn)生加減速、轉向、外傾等復雜工況，而輪胎承載的載荷、氣壓等也會受車輛運動、承載、環(huán)境等有所變化，顯然通過實際測試獲取所有的輪胎運行工況和測試條件的力和力矩信息是不現(xiàn)實的，這就需要對輪胎力學特性建模，通過模型參數(shù)表述復雜輪胎運行工況和多種測試條件的力學信息。本文針對輪胎側向力和側偏剛度進行幾種簡單常用的模型對比分析，這將為車輛動力學建模提供輪胎模型基礎，以用于車輛實時控制。

側偏剛度相關數(shù)據(jù)獲取

本文利用carsim仿真軟件中所提供的輪胎數(shù)據(jù)進行研究，打開carsim軟件并找到輪胎模型部分，求出每個車輪的垂向載荷（以參考垂向載荷為例），再找到輪胎側偏力與側偏角曲線，如下圖所示。

圖1 CarSim輪胎側偏剛度初始數(shù)據(jù)

表中第一行代表不同的垂向載荷，第一列代表側偏角。這里我們選取垂向載荷為1348.41的曲線相關數(shù)據(jù)導入Matlab中，接下來將采用數(shù)值擬合的方法對輪胎模型進行分析。

側偏剛度的數(shù)值模擬

對于輪胎力學模型來說，主要分為三類，分別是經(jīng)驗模型，理論模型以及半經(jīng)驗模型。經(jīng)驗模型從輪胎實測數(shù)據(jù)得出，與測試數(shù)據(jù)擬合相關度較高，但模型很難適用于其它測試工況或測試條件；理論模型采用輪胎結構簡化，采用物理模型參數(shù)描述輪胎變形、運動，具有相應解析表達式，但公式復雜，計算繁瑣，且精度較差；半經(jīng)驗模型兼容了經(jīng)驗模型和理論模型的優(yōu)點，在理論研究和測試數(shù)據(jù)基礎上開展建模。

其中運用廣泛的模型主要有Magic Formula模型，UniTire模型，Dugoff模型以及刷子模型。因此本文分別按這四種模型進行了該型輪胎側偏剛度的數(shù)值擬合。

2.1基于Magic Formula模型的側偏剛度擬合

應用最廣泛的經(jīng)驗模型當屬Pacejka教授提出的魔術公式（Magic Formula）。魔術公式最先在荷蘭的TU Delft大學和沃爾沃的合作項目中發(fā)展起來，于1987年發(fā)布第一個版本。之所以稱之為魔術公式是因為該公式可以利用一個表達式換用不同的參數(shù)來描述輪胎側向力、回正力矩與側偏角以及縱向力與縱向滑移率之間的關系。由于直接由試驗數(shù)據(jù)擬合而來，因而模型計算的準確性較高。它關于側偏力擬合的基本公式為：

以及

輪胎魔術公式的參數(shù)含義如下圖所示。

圖2 魔術公式參數(shù)含義原理解釋

其中，

為輪胎側偏力（N）；Fz為實際試驗載荷（N）；Fz0為額定載荷（N）；Fzn為無量綱垂直載荷；α為側偏角(°)；D為峰值因子；C為形狀因子，側偏力擬合取-1.3；BCD即式中的K代表原點處的斜率；B為剛度因子；E為曲率因子；對于給定的D，C，B和E曲線相對于原點表現(xiàn)為非對稱形狀。考慮到輪胎的初始側偏剛度，引入水平偏移Sh和垂直偏移Sv使側偏剛度擬合曲線與試驗數(shù)據(jù)相適應；a1~a10為擬合回歸參數(shù)。式中各參數(shù)都有其特定的物理意義，并且隨a1 ~a10的變化而變化。

半經(jīng)驗模型具有高精度、計算量小、可實時仿真的優(yōu)點。缺點是需要做大量和工況相關的試驗，外推性較差，而且只能給出輪胎的穩(wěn)態(tài)特性。半經(jīng)驗模型對試驗條件和試驗步驟都有嚴格的要求，且很難涉及輪胎的動特性。

本文采用lsqcurvefit進行編程擬合曲線，擬合結果為：a1=-599.953，a2=2057.211，a3=100000，a4=-6.015，a5=-2.098，a6=6.763，a7=2.422，a8=0.0045，a9=-0.563，a10=-31.884。獲得的曲線擬合結果如下圖所示。

圖3 基于魔術公式的輪胎側向力擬合結果

2.2基于UniTire模型的側偏剛度擬合

UniTire 模型的發(fā)展基于簡化理論模型的無量綱化表達，是一種半經(jīng)驗模型，結合了經(jīng)驗模型與理論模型的優(yōu)點，經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展完善同樣可以很好的描述穩(wěn)態(tài)條件的輪胎力學特性，目前已經(jīng)發(fā)展到的2.0版本。它關于側偏力擬合的基本公式為：

以及

其中，F(xiàn)α為無量綱切力；SHy為側向力水平偏移；Ky為側偏剛度；Sye為有效側向滑移率；Ey為側向力曲率因子；φy為無量綱側向滑移率；μy為側向摩擦系數(shù)；pHy1，pHy2，pKy1，pKy2，pKy3，pEy1，pEy2，pμy1，pμy2為需擬合的參數(shù)。

數(shù)值擬合使用Matlab的lsqcurvefit工具。由于lsqcurvefit工具只能對向量進行擬合。因此就同一載荷不同側偏角對pHy1，pHy2，pKy1，pKy2，pKy3，pEy1，pEy2，pμy1，pμy2進行擬合，其擬合值如下：pHy1=-0.0568；pHy2=0.2388；pKy1=-0.0768；pKy2=0.5136；pKy3=0.0182；pEy1=286.5100；pEy2=-98.6322；pμy1=-1.1612；pμy2=1.3760。獲得的曲線擬合結果如下圖所示。

圖4 基于UniTire的輪胎側向力擬合結果

2.3基于Dugoff模型的側偏剛度擬合

Dugoff模型也屬于半經(jīng)驗模型。模型假設輪胎接地區(qū)內垂直力均勻分布，同時由于輪胎縱向剛度與側向剛度差異很大，故模型在橫向和縱向允許有獨立的輪胎剛度值。與其他輪胎模型相比，Dugoff模型的優(yōu)點在于它是根據(jù)力的平衡推導出的解析模型，縱向力和橫向力與輪胎與路面的摩擦系數(shù)具有直接關系。其表達式為：

其中，Cα為輪胎側向側偏剛度；Cλ為輪胎縱向側偏剛度；λ為縱向滑移率；α為輪胎側偏角；μ為路面附著系數(shù)；Fz為垂向載荷。

數(shù)值擬合同樣使用Matlab的lsqcurvefit工具，對Cα、Cλ進行擬合，其擬合值如下：Cα=136777，Cλ=6018。獲得的曲線擬合結果如下圖所示。

圖5 基于Dugoff的輪胎側向力擬合結果

2.4基于刷子模型的側偏剛度擬合

早期人們希望從輪胎抽象出簡單的物理模型來研究輪胎的力學特性，這就是早期的理論模型。早期的理論模型主要包括刷子模型、梁模型和弦模型等。它們在一定程度上揭示了輪胎力學特性的形成機理。刷子模型早于1941年被Fromm提出來，將輪胎簡化為彈性的胎面單元附著在剛性的胎體上，且胎體集中所有的輪胎質量，胎面單元為沒有質量的“刷子”。在純側偏的工況下，刷子模型的側向力表達式如下：

其中，Cα、μ分別為輪胎轉向剛度及摩擦系數(shù)，兩者都需要通過擬合獲得；Fz為法向載荷；α為輪胎側偏角；αsat為飽和側偏角，其表達式如下所示。

其中，η為衰減系數(shù)，其值隨著縱向力的增加而減小，含義為：地面除開提供給輪胎縱向的力外還能為橫向所提供的力，其能夠描述隨著縱向力Fx的增大而引起橫向力的減小的現(xiàn)象。衰減系數(shù)的定義式如下：

數(shù)值擬合同樣使用Matlab的lsqcurvefit工具，對Cα、μ、η進行擬合，其擬合值如下：Cα=28682.4，μ=0.987，η=1。獲得的曲線擬合結果如下圖所示。

圖6 基于刷子模型的輪胎側向力擬合結果

結論

上述各輪胎模型擬合的結果如下所示。在擬合精度方面，在側偏角較小時各模型都可以反映側向力的上升趨勢，刷子模型、UniTire模型誤差都較小，魔術公式模型最接近實驗的結果，Dugoff模型精度較其他三個模型而言略差一些。在側偏角較大時，只有魔術公式模型誤差最小，幾乎接近原始曲線，其余三種曲線都無法貼合原始曲線，也無法反應出飽和段側偏剛度下降的趨勢。

圖7  輪胎側向力擬合結果

圖8  輪胎側偏剛度擬合結果

在復雜性方面，根據(jù)公式復雜度進行比較，魔術公式模型和和UniTire模型最復雜，刷子模型、Dugoff模型較復雜；根據(jù)參數(shù)多少進行比較，魔術公式模型和UniTire模型參數(shù)最多，刷子模型參數(shù)較多，Dugoff模型參數(shù)較少；從參數(shù)辨識難度方面進行比較，魔術公式模型、UniTire模型難度較大，刷子模型和Dugoff模型難度較小。

就該205/55R16型輪胎的側偏剛度擬合來說，Magic Formula輪胎模型的擬合精度顯然比UniTire輪胎模型高。其主要原因：UniTire輪胎模型是半經(jīng)驗模型，受輪胎結構的影響?其中某些擬合參數(shù)在計算中可能會超出取值定義域。如果不進行相關修正則無法進行下一步正常擬合計算，如果進行修正則會導致擬合精度降低。而UniTire模型與刷子模型類似，其采用的摩擦系數(shù)也隨滑移率變化，因此，兩者的擬合結果近似，UniTire精度略高一些。

圖8對四種模型做出的側偏剛度曲線進行了對比，結果表明：在側偏角較小時，魔術公式的側偏剛度與原數(shù)據(jù)基本一致，而UniTire和刷子模型略偏小，Dugoff模型偏小程度較大。