當(dāng)兩個(gè)幅值和頻率相近的簡(jiǎn)諧波進(jìn)行疊加時(shí)，會(huì)出現(xiàn)幅值忽高忽低的現(xiàn)象，也就是所謂的“拍”現(xiàn)象，但它又不同于幅值調(diào)制，雖然在時(shí)域上表現(xiàn)相同：都是幅值忽高忽低，但二者有著本質(zhì)的區(qū)別。當(dāng)兩個(gè)頻率相近的聲波疊加時(shí)，由于人耳聽(tīng)到的聲音取決于聲波的幅值，因此，當(dāng)出現(xiàn)拍現(xiàn)象時(shí)，人耳聽(tīng)到的聲音在幅值上會(huì)出現(xiàn)周期性的強(qiáng)弱變化，一強(qiáng)一弱變化就是一次拍。

1拍的定義
當(dāng)同方向的兩個(gè)頻率相差不大的簡(jiǎn)諧波疊加時(shí)，疊加后的波形的幅值將隨時(shí)間作強(qiáng)弱的周期性度化，這種現(xiàn)象稱之為“拍”，如圖1所示，圖中有三個(gè)拍，幅值出現(xiàn)忽強(qiáng)忽弱的變化，單位時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)的拍數(shù)稱為拍頻（拍的頻率），也是疊加后波形的幅值變化頻率。



圖1 拍現(xiàn)象

通常，原始的兩個(gè)簡(jiǎn)諧波的振動(dòng)頻率較高，與疊加后的波形的頻率接近，但拍的頻率很低，遠(yuǎn)小于原始簡(jiǎn)諧波的振動(dòng)頻率，因而，當(dāng)出現(xiàn)拍現(xiàn)象時(shí)，它把高頻信號(hào)中的頻率信息和相位信息轉(zhuǎn)移到低頻信號(hào)（拍）之中，使它們由難以測(cè)量變得容易測(cè)量。

在聲學(xué)測(cè)量中，經(jīng)常會(huì)遇到兩個(gè)傳播方向相同，頻率相近的聲波。這兩個(gè)聲波在疊加時(shí)會(huì)產(chǎn)生“拍”現(xiàn)象，如圖2所示。此時(shí)藍(lán)色的正弦波的頻率為這兩個(gè)聲波頻率和頻的一半，這個(gè)聲音可以被人耳感知到，而另一個(gè)頻率是包絡(luò)的正弦波的頻率是這兩個(gè)聲波差頻的一半，還有一個(gè)頻率是聲音強(qiáng)弱變化的頻率，即拍頻，是這兩個(gè)聲波頻率之差。從圖2中可以看出，頻率相同或接近的聲波疊加時(shí)，在疊加區(qū)的不同位置會(huì)出現(xiàn)加強(qiáng)與減弱的拍現(xiàn)象，這種現(xiàn)象也稱為聲波干涉。



圖2 兩個(gè)頻率相近的聲波形成拍

對(duì)于4缸4沖程發(fā)動(dòng)機(jī)而言，主要的激勵(lì)階次是2，4，6，8等階次，除了這些階次之外，還存在半階次。對(duì)于單缸而言，它的點(diǎn)火階次是半階次，雖然半階次的能量沒(méi)有主要的激勵(lì)階次2，4，6，8等階次大，但它還是存在的。在某些特定轉(zhuǎn)速下，如怠速時(shí)，半階次與整數(shù)階次的頻率相差不大，二者頻率挨的比較近。一旦頻率挨得很近時(shí)，噪聲信號(hào)就會(huì)出現(xiàn)典型的拍現(xiàn)象。出現(xiàn)拍的噪聲信號(hào)幅值忽高忽低（幅值波動(dòng)），但人耳是分辨不出來(lái)這種頻差的。當(dāng)這兩個(gè)頻率挨得較近時(shí)，又分到底是非常近，還是比較近，還是完全分開(kāi)等情況。當(dāng)完全分開(kāi)時(shí)，聽(tīng)起來(lái)是兩個(gè)完全不同的聲音（兩個(gè)純音），比較近時(shí)，表現(xiàn)出來(lái)的是所謂的粗糙度，而特別近時(shí)，表現(xiàn)出來(lái)的是聲音的波動(dòng)（拍現(xiàn)象），如圖3所示。



圖3 不同的頻差表現(xiàn)不同的特性

對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)而言，兩個(gè)聲音的頻率是屬于比較近的情況，但又不會(huì)特別近。當(dāng)兩個(gè)聲波的頻差處于不同頻率范圍時(shí)，會(huì)表現(xiàn)出不同的特性。如果二者頻差低于15Hz，會(huì)出現(xiàn)明顯的拍現(xiàn)象，如圖3中的拍現(xiàn)象所示就屬于這種情況；當(dāng)頻差大于15Hz，而低于300Hz時(shí)，能感受到明顯的粗糙特性；而當(dāng)頻差大于300Hz時(shí)，可以感受到兩個(gè)明顯的純音。

2相關(guān)理論
在介紹拍的相關(guān)理論之前，讓我們首先考慮兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧波疊加。然后給出兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧波疊加形成拍的相關(guān)理論，下一篇文章《什么是利薩如圖？》將介紹兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧波疊加。

（一）兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧波疊加。在《有趣的分貝公式》一文中，我們?cè)?jīng)這樣講道：兩個(gè)相關(guān)的等聲壓級(jí)的簡(jiǎn)諧聲源疊加，總聲壓級(jí)將增加6dB。因?yàn)榇藭r(shí)是兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧波聲源疊加，幅值直接相加。在這，將給出這個(gè)觀點(diǎn)的理論支撐依據(jù)。

假設(shè)兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧波的原方程式為：



當(dāng)這兩個(gè)簡(jiǎn)諧波疊加時(shí)，依據(jù)三角函數(shù)公式有

其中，

從上式可以看出，兩個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧波疊加后的信號(hào)仍為簡(jiǎn)諧波。接下來(lái)，我們討論一下這兩個(gè)原始信號(hào)的相位關(guān)系：1）同相位；2）反相位。

1）如果原始的兩個(gè)簡(jiǎn)諧波的相位相同，即Δφ=φ2-φ1=2kπ,(k=0,±1,±2,…)，那么有

其中，

從這可以看出，如果原始兩個(gè)簡(jiǎn)諧波幅值相等，那么疊加后的簡(jiǎn)諧波的幅值為原始波形幅值的2倍，頻率與相位不變。即使兩個(gè)信號(hào)的幅值不相等，疊加后的波形的幅值為兩個(gè)原始波形幅值直接相加。因而，相位相同時(shí)，疊加后的信號(hào)幅值相互加強(qiáng)。

2）如果原始的兩個(gè)簡(jiǎn)諧波的相位相反（相差180度），即Δφ=φ2-φ1=(2k+1)π,(k=0,±1,±2,…)，那么有

其中，

對(duì)于兩個(gè)相位相反的同頻率簡(jiǎn)諧波而言，疊加后的波形的幅值為兩個(gè)原始波形幅值直接相減的絕對(duì)值。因而，相位相反時(shí)，疊加后的信號(hào)幅值相互減弱。

3）對(duì)于一般相位而言，疊加后的幅值處于
|A1-A2|<A< A1+A2
另外，如果有多個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧波疊加，疊加后的波形仍為簡(jiǎn)諧波。

（二）兩個(gè)同方向不同頻率的簡(jiǎn)諧波疊加。假設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)諧波的原始方程為：

考慮A1=A2，且|ω1-ω2|<<ω1+ω2時(shí)，根據(jù)和差化積公式，它們疊加后形成拍的波形方程為

式中，A=2A1|cos(ω2-ω1)t/2|為疊加后的拍的幅值。因?yàn)?omega;2-ω1很小，所以A表示緩慢周期變化的幅值。由于0≤|cos(ω2-ω1)t/2|≤1，因此有，
Amax=2A1
Amin=0
拍的周期Tb和頻率fb為

這就使得拍的幅值按頻率fb作周期性變化：加強(qiáng)與減弱，如圖4所示。合成后的波形的振動(dòng)頻率為

合成后的拍除了上述兩個(gè)頻率成分之外，還有一個(gè)頻率成分，即包絡(luò)線（如圖4中藍(lán)色曲線）的頻率成分，該頻率成分為拍頻的一半，即




圖4 拍

當(dāng)A1≠A2時(shí)，疊加后的波形為：

式中，

合成波形的最大振幅和最小振幅為：

頻率成分仍與之前三個(gè)相同。

3
與幅值調(diào)制的區(qū)別
在信號(hào)幅值調(diào)制過(guò)程中，是用低頻的調(diào)制信號(hào)來(lái)改變高頻的載波信號(hào)的幅值。如齒輪所在軸的轉(zhuǎn)頻信號(hào)作為調(diào)制信號(hào)，調(diào)制齒輪幅的嚙合頻率。因此，調(diào)制信號(hào)與載波信號(hào)頻率相差甚遠(yuǎn)，而合成拍的兩個(gè)信號(hào)頻率成分相差不大。但幅值調(diào)制的表現(xiàn)形式與拍是完全相同的：周期性的加強(qiáng)與減弱，如圖5所示為某個(gè)幅值調(diào)制的波形。



圖5 幅值調(diào)制的時(shí)域波形

幅值調(diào)制信號(hào)是載波信號(hào)與調(diào)制信號(hào)在時(shí)域上的乘積，轉(zhuǎn)換到頻域，則是兩個(gè)信號(hào)的卷積。而合成拍是兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域上的相加，是信號(hào)和差化積的過(guò)程，而幅值調(diào)制是積化和差的過(guò)程。

已調(diào)信號(hào)包括三個(gè)正弦分量：一個(gè)是原始的載波信號(hào)，另外兩個(gè)頻率成分分別是載波信號(hào)與調(diào)制信號(hào)的和頻與差頻。和頻與差頻均勻分布在載波信號(hào)的兩側(cè)，稱為上、下邊頻帶。調(diào)制不會(huì)改變載波信號(hào)的幅值，但邊頻帶的幅值等于載波信號(hào)幅值與調(diào)制指數(shù)乘積的一半。圖6給出了一個(gè)調(diào)制指數(shù)為0.5，頻率為2Hz的簡(jiǎn)諧調(diào)制信號(hào)和幅值為1，頻率為100Hz的簡(jiǎn)諧載波信號(hào)的幅值調(diào)制結(jié)果，左圖為時(shí)域信號(hào)，右圖為相應(yīng)的頻譜。



圖6 幅值調(diào)制后的時(shí)域波形和頻譜

拍也包括三個(gè)正弦分量：合成振動(dòng)波的頻率為兩個(gè)簡(jiǎn)諧波和頻的一半，拍頻為兩個(gè)簡(jiǎn)諧波的差頻，包絡(luò)線頻率為兩個(gè)簡(jiǎn)諧波差頻的一半。圖7為兩個(gè)頻率成分分別為99Hz和101Hz的單位幅值簡(jiǎn)諧波疊加后形成的拍的時(shí)域信號(hào)與頻譜。從時(shí)域波形中可以看出，拍的幅值在0~2之間變化。由于拍是兩個(gè)正弦波的疊加，對(duì)疊加后的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行FFT分析時(shí)，得到的頻譜仍只包含原始兩個(gè)正弦波的頻率成分。



圖7 拍的時(shí)域信號(hào)與頻譜

如果要提取到拍頻，必須要對(duì)拍的時(shí)域波形做包絡(luò)分析，獲得包絡(luò)曲線，然后對(duì)包絡(luò)曲線進(jìn)行FFT分析得到包絡(luò)曲線的頻譜。對(duì)圖7所示的拍的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行包絡(luò)分析得到包絡(luò)曲線如圖8左側(cè)所示，然后對(duì)這條包絡(luò)曲線進(jìn)行FFT分析，得到拍的頻率如圖8中的右側(cè)所示，從圖中可以看出，拍頻為2Hz。



圖8 拍的包絡(luò)曲線和頻譜

從圖6和圖7可以看出，雖然拍與幅值調(diào)制從時(shí)域信號(hào)上來(lái)看，有著類(lèi)似的變化規(guī)律，但二者的頻率成分要求完全不同。如圖6中的原始頻率成分是100Hz和2Hz，二者相差甚遠(yuǎn)，而圖7中形成拍的原始頻率成分是99Hz和101Hz，二者相差不大。除此之外，二者還有著本質(zhì)的區(qū)別。

參考：
1. 5-4-一維簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成-拍現(xiàn)象.PPT
2. INV1601振動(dòng)與控制教學(xué)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)