2.2 法向接觸力為壓力
接觸物體在動(dòng)力學(xué)方面需要滿足法向接觸力為壓力的條件。在不考慮接觸面間的粘附的情況下，物體之間的法向接觸力只可能是壓力，不能為拉力。

如果gN=0，法向接觸力pN=pAN=pBN<0。如果gN>0，意味著兩個(gè)物體間存在間隙，此時(shí)pN=0。即

上式就是無(wú)摩擦接觸問(wèn)題Hertz-Signorini-Moreau條件。在優(yōu)化理論中，此種形式的約束條件稱為Kuhn-Tucher條件或者Karsh-Kuhn-Tucher條件。

3、Coulomb摩擦定律和摩擦機(jī)理
摩擦是由于兩接觸表面相互作用而引起的，其結(jié)果是產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)阻力。當(dāng)兩個(gè)表面相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力將做負(fù)功，在接觸表面上產(chǎn)生能量的損耗。在工程分析中，Coulomb模型因其簡(jiǎn)單和適用性而被廣泛應(yīng)用。摩擦的物理機(jī)制非常復(fù)雜，最終可追溯到原子尺度。


3.1 Coulomb摩擦三定律
法國(guó)工程師Amontons于1699年提出了兩條基本的摩擦定律。這兩條定律已為實(shí)驗(yàn)所證實(shí)，能適用于大多數(shù)條件，但是也有一些顯著的例外。

第一定律：摩擦力與兩接觸體表觀接觸面積無(wú)關(guān)。

實(shí)際上，任何表面從微觀上幾乎都是粗糙的，實(shí)際接觸面積只占表觀接觸面積的很小一部分，摩擦力的大小僅與實(shí)際接觸面積有關(guān)。

第二定律：摩擦力tT與法向載荷fN成正比。

式中，μ為常數(shù)，即摩擦系數(shù)，必須指出，僅僅對(duì)于給定的一對(duì)接觸滑動(dòng)材料和一組給定的周圍條件，摩擦系數(shù)才是常數(shù)。材料不同、周圍條件（溫度、濕度、真空度）不同，摩擦系數(shù)也不同。

此外，Coulomb于1785年提出了第三定律，即動(dòng)摩擦力幾乎與滑動(dòng)速度無(wú)關(guān)。

目前有限元軟件中最通用的切向摩擦本構(gòu)關(guān)系是經(jīng)典Coulomb摩擦模型，該模型體現(xiàn)了以上三個(gè)基本定律。也有研究者提出另外一些模型，能夠考慮界面上微觀的力學(xué)現(xiàn)象或者摩擦非局部特性。

3.2 摩擦機(jī)理
當(dāng)兩個(gè)表面相互壓緊時(shí)，會(huì)在接觸區(qū)的某些部分發(fā)生粘著，這是引起摩擦的表面作用的一種形式。如果兩接觸表面產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)，表面的材料微凸體將發(fā)生變形和位移來(lái)適應(yīng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，這種變形和位移將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)阻力，這是引起摩擦的表面作用的另一種形式。

當(dāng)兩個(gè)接觸表面相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，材料微凸體可能發(fā)生彈性變形、塑性變形或者斷裂。塑性變形總是能帶來(lái)能量的耗散，在大多數(shù)實(shí)際情況下，這種能量損耗占金屬摩擦的大部分。當(dāng)表面相互作用為粘著形式時(shí)則必然發(fā)生斷裂，當(dāng)互嵌的微凸體相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)也會(huì)引起斷裂，然而，對(duì)于大多數(shù)金屬，斷裂引起的能量耗散小于塑性變形。

金屬材料發(fā)生彈性變形所需要的能量絕大部分可以回復(fù)，因此彈性能量耗散與塑性能量耗散相比可以忽略不計(jì)。但是橡膠材料在發(fā)生彈性變形后，由于產(chǎn)生彈性滯后，顯示出很大的不可逆的能量耗散，在某些情況下，這是摩擦的主因。

綜上所述，引起摩擦的表面相互作用有兩個(gè)來(lái)源：即粘著和材料位移。發(fā)生微觀的彈性和塑性變形以及斷裂，會(huì)引起能量的耗散。這些表面作用涉及到界面的原子間復(fù)雜的化學(xué)和電磁作用，因此一些研究者試圖將承受切向載荷的接觸界面考慮為一層獨(dú)立的物質(zhì)。

Bowden和Tabor提出了簡(jiǎn)單粘著磨擦理論，其出發(fā)點(diǎn)是：當(dāng)金屬表面壓緊時(shí)，微凸體頂端相互接觸。接觸著的微凸體上壓力很高，導(dǎo)致塑性變形，令接觸面積增大到實(shí)際接觸面積A恰好能法向支承載荷fN為止。因此，對(duì)于屈服壓力為p0的理想的彈塑性材料，有

簡(jiǎn)單粘著摩擦理論認(rèn)為，在接觸表面緊密接觸區(qū)會(huì)發(fā)生牢固的粘著。如為剪斷節(jié)點(diǎn)所需的單位接觸面積上的力，而tT為摩擦力，則有