模態(tài)應(yīng)力、頻響應(yīng)力和PSD應(yīng)力

2018-11-22 23:25:11· 來(lái)源：王朋波模態(tài)空間

1、引言在汽車(chē)結(jié)構(gòu)CAE分析中，模態(tài)分析、頻響分析和隨機(jī)響應(yīng)分析都是常見(jiàn)的分析項(xiàng)，這些分析項(xiàng)在主機(jī)廠(chǎng)都是被劃分到NVH領(lǐng)域，而NVH工程師主要關(guān)心的是加速度和位

1、引言

在汽車(chē)結(jié)構(gòu)CAE分析中，模態(tài)分析、頻響分析和隨機(jī)響應(yīng)分析都是常見(jiàn)的分析項(xiàng)，這些分析項(xiàng)在主機(jī)廠(chǎng)都是被劃分到NVH領(lǐng)域，而NVH工程師主要關(guān)心的是加速度和位移響應(yīng)，不太關(guān)心應(yīng)力。所以文獻(xiàn)資料中對(duì)模態(tài)應(yīng)力、頻響應(yīng)力、和PSD應(yīng)力的介紹非常少。

近幾年來(lái)，基于道路譜的整車(chē)結(jié)構(gòu)疲勞分析已經(jīng)開(kāi)始從準(zhǔn)靜態(tài)多通道法轉(zhuǎn)換到模態(tài)瞬態(tài)響應(yīng)法，頻域內(nèi)的強(qiáng)度和疲勞分析也已大量應(yīng)用。實(shí)施這些動(dòng)態(tài)的強(qiáng)度疲勞分析必然要涉及到上述三種應(yīng)力，所以我們有必要對(duì)模態(tài)應(yīng)力、頻響應(yīng)力和PSD應(yīng)力的概念做一些討論。

2、模態(tài)分析和模態(tài)應(yīng)力

我們通常說(shuō)的模態(tài)指的是結(jié)構(gòu)的實(shí)模態(tài)，其物理含義是，在沒(méi)有外界激勵(lì)和阻尼的條件下，結(jié)構(gòu)自身按特定頻率和特定的變形模式做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，這個(gè)特寫(xiě)頻率就是結(jié)構(gòu)的固有頻率，這種變形模式就叫做模態(tài)振型。

通過(guò)求解振動(dòng)特征方程，可以得到特征值與特征向量，即可得到相應(yīng)的固有頻率與模態(tài)振型。固有頻率和模態(tài)振型是結(jié)構(gòu)固有的一種屬性，它只與結(jié)構(gòu)的形狀、約束形式、材料特性等有關(guān)，而與其他輸入（例如加載）無(wú)關(guān)。

模態(tài)振型是一種結(jié)構(gòu)變形模式，這種變形所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分布就叫做模態(tài)應(yīng)力。進(jìn)行模態(tài)分析時(shí)，如果打開(kāi)應(yīng)力結(jié)果輸出選項(xiàng)，對(duì)應(yīng)每一階固有頻率，就有對(duì)應(yīng)的模態(tài)應(yīng)力結(jié)果輸出。模態(tài)應(yīng)力是相對(duì)應(yīng)力，和模態(tài)振型的相對(duì)概念是一樣的，它只表征結(jié)構(gòu)各點(diǎn)應(yīng)力的比例關(guān)系，其絕對(duì)數(shù)值并無(wú)意義。

模態(tài)振型和模態(tài)應(yīng)力的一些特征如下：

1) 模態(tài)振型通過(guò)駐波描述，而這些駐波的節(jié)點(diǎn)位置是固定的，節(jié)點(diǎn)處的位移始終為0,但模態(tài)應(yīng)力通常不為0。

2) 結(jié)構(gòu)上所有點(diǎn)在同一時(shí)刻，其位移分量和應(yīng)力分量達(dá)到最大值或最小值。

3) 結(jié)構(gòu)上所有點(diǎn)同一時(shí)刻通過(guò)零點(diǎn)位置，該時(shí)刻結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力處處為0。

4) 結(jié)構(gòu)上所有的點(diǎn)，各位移分量和應(yīng)力分量要么完全同相位，要么完全反相位。

5) 無(wú)阻尼情況下計(jì)算得到的模態(tài)振型和模態(tài)應(yīng)力與比例阻尼情況下的模態(tài)振型和模態(tài)應(yīng)力相同。

3、頻響分析和頻響應(yīng)力

頻率響應(yīng)分析（簡(jiǎn)稱(chēng)頻響分析）用于計(jì)算結(jié)構(gòu)在正弦周期載荷作用下對(duì)每一個(gè)計(jì)算頻率點(diǎn)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。在頻率響應(yīng)分析中，激勵(lì)載荷是在頻域中明確定義的，載荷在每一個(gè)指定的頻率上都是已知的。計(jì)算的響應(yīng)結(jié)果為以實(shí)部和虛部形式表示的復(fù)數(shù)，或由幅值和相位形式定義。

頻率響應(yīng)分析有兩類(lèi)不同的數(shù)值方法可供選擇，即直接法和模態(tài)法。

直接法頻率響應(yīng)分析通過(guò)求解整個(gè)模型的阻尼耦合方程，得出結(jié)構(gòu)在一個(gè)穩(wěn)定的正弦周期外力作用下的響應(yīng)。結(jié)構(gòu)可以具有粘性阻尼和結(jié)構(gòu)阻尼，結(jié)果可輸出復(fù)位移、速度、加速度、約束力、單元力和單元應(yīng)力等。

模態(tài)法頻率響應(yīng)分析將結(jié)構(gòu)矩陣用忽略阻尼的實(shí)特征值分析進(jìn)行了壓縮，然后用模態(tài)坐標(biāo)建立廣義剛度和質(zhì)量矩陣。該分析的結(jié)果輸出類(lèi)型與直接法相同。

在頻響分析中，如果我們?cè)O(shè)置單位正弦激勵(lì)，針對(duì)某個(gè)頻段上的多個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算響應(yīng)，其響應(yīng)結(jié)果就叫做頻響函數(shù)（以激勵(lì)頻率為橫坐標(biāo)）。這個(gè)單位正弦激勵(lì)可以是力、力矩或壓力，也可以是位移、速度或者加速度。激勵(lì)的單位也不局限于國(guó)際單位制，比如單位加速度激勵(lì)，可以用1.0m/s2的加速度，也可以用1.0g的加速度，當(dāng)然最后計(jì)算得出的頻響函數(shù)的含義也不相同。

頻響函數(shù)表征了線(xiàn)性系統(tǒng)在給定頻率下的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的關(guān)系。這個(gè)關(guān)系具體是指輸出輸入的幅值之比與激勵(lì)頻率的函數(shù)關(guān)系，和輸出輸入的相位差與激勵(lì)頻率的函數(shù)關(guān)系。這兩個(gè)關(guān)系稱(chēng)為線(xiàn)性系統(tǒng)的頻響特性。頻率響應(yīng)函數(shù)是復(fù)函數(shù)，可分解為幅頻特性曲線(xiàn)和相頻特性曲線(xiàn)分別研究。

如果我們研究的系統(tǒng)響應(yīng)為結(jié)構(gòu)應(yīng)力，則此時(shí)的頻響函數(shù)叫做應(yīng)力頻響函數(shù)，也叫作頻響應(yīng)力。頻響應(yīng)力表征的是單位正弦激勵(lì)下的應(yīng)力張量響應(yīng)，它包含了各應(yīng)力分量的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)。通常我們更關(guān)心這些應(yīng)力分量的合成效果，即Von Mises應(yīng)力的頻響曲線(xiàn)。頻響應(yīng)力曲線(xiàn)的峰值點(diǎn)一般是對(duì)應(yīng)著結(jié)構(gòu)的某階固有頻率。

圖1展示了某電池包分別承受X、Y和Z向加速度激勵(lì)時(shí)，殼體上某點(diǎn)的Von Mises應(yīng)力頻響曲線(xiàn)。

圖1 結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)von Mises應(yīng)力的頻響曲線(xiàn)

在計(jì)算頻響應(yīng)力時(shí)，應(yīng)設(shè)置符合實(shí)際情況的阻尼。如果沒(méi)有具體試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)，對(duì)于汽車(chē)車(chē)身結(jié)構(gòu)而言，建議模態(tài)阻尼（臨界阻尼系數(shù)，即Nastran中CRIT形式）設(shè)置為0.02。

需要注意的是，由于阻尼的存在，結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的頻響應(yīng)力可能相位不同，甚至同一點(diǎn)的各應(yīng)力分量的頻率響應(yīng)函數(shù)也可能相位不同，這點(diǎn)與模態(tài)應(yīng)力有很大差異。

計(jì)算頻響應(yīng)力時(shí)，頻率點(diǎn)的間隔需要仔細(xì)斟酌，如果頻率點(diǎn)取得太稀疏，那么很可能漏掉應(yīng)力頻響曲線(xiàn)的峰值點(diǎn)，導(dǎo)致后續(xù)強(qiáng)度和疲勞分析的結(jié)果過(guò)于激進(jìn)。頻率點(diǎn)如果取得太密集，固然可以提升分析精度，但在每一個(gè)頻率點(diǎn)都輸出結(jié)構(gòu)的全場(chǎng)應(yīng)力，我們將得到一個(gè)龐大的頻響應(yīng)力結(jié)果文件，很可能導(dǎo)致強(qiáng)度和疲勞分析軟件無(wú)法處理。比較好的方案是在結(jié)構(gòu)的各階固有頻率附近采用密集的頻率點(diǎn)，在各階固有頻率之間采用稀疏分布的頻率點(diǎn)。

圖2和圖3分別展示了使用Nastran和Abaqus計(jì)算頻響應(yīng)力的頭文件，結(jié)構(gòu)所受的載荷為加速度激勵(lì)。

圖2 計(jì)算頻響應(yīng)力的Nastran頭文件

圖3 計(jì)算頻響應(yīng)力的Abaqus頭文件

采用模態(tài)法計(jì)算結(jié)構(gòu)頻響應(yīng)力，首先將結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行模態(tài)解耦，然后針對(duì)解耦的各單自由度系統(tǒng)求得模態(tài)坐標(biāo)的頻響函數(shù)，

其中Hi(ω)為第i階模態(tài)坐標(biāo)的頻率響應(yīng)函數(shù)，Pi、mi、bi和ki分別為第i階模態(tài)力、模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度。

頻響應(yīng)力則由各階模態(tài)坐標(biāo)的頻響函數(shù)和對(duì)應(yīng)的模態(tài)應(yīng)力相乘疊加得到，

其中Hσ(ω)為頻響應(yīng)力，σi為第i階模態(tài)應(yīng)力。

按照這個(gè)思路，我們可以不直接計(jì)算輸出頻響應(yīng)力結(jié)果，而是先通過(guò)一個(gè)實(shí)模態(tài)分析輸出各階模態(tài)應(yīng)力σi，這個(gè)結(jié)果文件的大小取決于模態(tài)分解的階數(shù)；再通過(guò)一個(gè)模態(tài)法頻響分析輸出各階模態(tài)坐標(biāo)的頻響函數(shù)Hi(ω)，這個(gè)結(jié)果文件只包含了一些單自由度系統(tǒng)的頻響曲線(xiàn)，所以其大小通常不過(guò)幾兆字節(jié)。在進(jìn)行后續(xù)強(qiáng)度或疲勞分析時(shí)，頻響應(yīng)力再利用公式（2）得出。

這樣做的好處是，我們即使將頻率點(diǎn)設(shè)置的非常密集，模態(tài)坐標(biāo)頻響函數(shù)結(jié)果文件也只會(huì)增大幾兆字節(jié)，模態(tài)應(yīng)力結(jié)果文件的大小則不會(huì)改變。從而在控制結(jié)果文件大小的同時(shí)，避免了遺漏頻響應(yīng)力曲線(xiàn)上的峰值點(diǎn)，特別適合模型規(guī)模大且激勵(lì)頻帶很寬的情況。

4、隨機(jī)響應(yīng)分析與PSD應(yīng)力

隨機(jī)響應(yīng)分析用于計(jì)算結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)載荷作用下的響應(yīng)。隨機(jī)激勵(lì)載荷是頻域信號(hào)表征的，通常采用功率譜密度函數(shù)（PSD）表示。隨機(jī)激勵(lì)下的響應(yīng)是統(tǒng)計(jì)意義下描述的響應(yīng)，在任何瞬時(shí)響應(yīng)具體大小未知，但其大小的概率可以給出。

隨機(jī)響應(yīng)分析通常是作為頻率響應(yīng)分析的后處理。首先施加單位正弦激勵(lì)，得到頻響函數(shù)，然后根據(jù)用戶(hù)給定的載荷條件（形式為各載荷的自功率譜密度和互功率譜密度）。輸出為響應(yīng)的功率譜密度、響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)或響應(yīng)的均方值，其中應(yīng)力響應(yīng)的功率譜密度我們簡(jiǎn)稱(chēng)為PSD應(yīng)力。

與頻響函數(shù)一樣，響應(yīng)的PSD也是以頻率為橫坐標(biāo)的函數(shù)，但PSD是正的實(shí)函數(shù)，并沒(méi)有相位的概念。

一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)，承受平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)載荷x(t)，其PSD為Sx(ω)，響應(yīng)信號(hào)為y(t)，其PSD為Sy(ω)，則可按下式計(jì)算y(t)的功率譜密度，

其中H(ω)為載荷x(t)所對(duì)應(yīng)的頻響函數(shù)。

如果有多個(gè)隨機(jī)載荷信號(hào)x1(t),x2(t),…,xN(t)共同作用，則

其中Sxr,xs(ω)當(dāng)r≠s時(shí)，為載荷xr(t)和xs(t)的互功率譜密度函數(shù)（CPSD）；當(dāng)r=s時(shí)，為載荷xr(t)的功率譜密度函數(shù)。

對(duì)于互不相關(guān)的多個(gè)載荷信號(hào)，其互功率譜密度全部為零，則

所以，只要有各載荷的頻響函數(shù)Hr(ω)，我們就可以根據(jù)激勵(lì)載荷的PSD矩陣來(lái)求得結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)的PSD應(yīng)力。圖4展示了一個(gè)卡車(chē)車(chē)身的載荷PSD矩陣，，共有12個(gè)載荷通道，構(gòu)成12*12的PSD矩陣，其中對(duì)角項(xiàng)為各載荷的自功率譜密度函數(shù)，非對(duì)角項(xiàng)為互功率譜密度函數(shù)。

圖4 隨機(jī)激勵(lì)載荷的PSD矩陣

PSD應(yīng)力表征的是隨機(jī)激勵(lì)下的應(yīng)力張量響應(yīng)，它包含了各應(yīng)力分量的PSD曲線(xiàn)。得到PSD應(yīng)力后，再依據(jù)某些頻域疲勞失效模型，例如Dirlik算法、Lalanne算法或Steinberg算法等，就可以得到應(yīng)力幅值區(qū)間的概率分布，進(jìn)而得到疲勞壽命或者損傷值。

5、隨機(jī)激勵(lì)下Von Mises應(yīng)力的有效值

對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，響應(yīng)信號(hào)的均方根值，即有效值（RMS），可以由其PSD在頻域內(nèi)積分得到，即

這是功率譜密度函數(shù)Sy(ω)最重要的一個(gè)特性，即功率譜密度曲線(xiàn)下的面積就是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程y(t)的功率E(y2)，即均方值，如圖5。功率E(y2)開(kāi)平方后就是y(t)的有效值。

圖5 功率譜密度曲線(xiàn)與均方值

所以只要我們通過(guò)隨機(jī)響應(yīng)分析計(jì)算得到PSD應(yīng)力后，各應(yīng)力分量的均方根值都可以用上式得到。

我們通常不太關(guān)心各應(yīng)力分量的均方根，而是關(guān)心Von Mises應(yīng)力的均方根。對(duì)于汽車(chē)上的鈑金結(jié)構(gòu)，有一種估算疲勞壽命的簡(jiǎn)單方法：如果隨機(jī)載荷引起的結(jié)構(gòu)上各點(diǎn)Von Mises應(yīng)力的均方根值小于材料拉伸極限的20%，基本可以認(rèn)為能達(dá)到無(wú)限疲勞壽命。

可惜的是，由于Von Mises應(yīng)力是應(yīng)力分量的非線(xiàn)性函數(shù)，不是零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，因此用于計(jì)算加速度、位移、應(yīng)力分量均方根值的公式(6)不能直接用于Von Mises應(yīng)力。需要用一些復(fù)雜的運(yùn)算從載荷的統(tǒng)計(jì)轉(zhuǎn)換到Von Mises應(yīng)力的概率分布，并要考慮各應(yīng)力分量之間的相關(guān)性，才能得到Von Mises應(yīng)力的均方根值。具體的運(yùn)算過(guò)程讀者可查閱一些相關(guān)文獻(xiàn)。

作者簡(jiǎn)介

王朋波，清華大學(xué)力學(xué)博士，汽車(chē)結(jié)構(gòu)CAE分析專(zhuān)家。重慶市科協(xié)成員、《計(jì)算機(jī)輔助工程》期刊審稿人、交通運(yùn)輸部項(xiàng)目評(píng)審專(zhuān)家。專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域?yàn)檎?chē)疲勞耐久/NVH/碰撞安全性能開(kāi)發(fā)與仿真計(jì)算，車(chē)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化與輕量化，CAE分析流程自動(dòng)化等。

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