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車輛耐久性工程中的重要隨機(jī)變量及如何確定其服從怎樣的分布模型

2019-02-16 16:36:43·  來(lái)源：耐久論壇  作者：李旭東博士  
　
1 RangePair計(jì)數(shù)，Miner線性累積損傷假設(shè)，偽損傷如圖1(a)所示，無(wú)論是一個(gè)怎樣的時(shí)域信號(hào)（不管它是左前輪六分力的垂向分量，還是軸頭加速度，抑或是減振器的相
1 RangePair計(jì)數(shù)，Miner線性累積損傷假設(shè)，偽損傷
如圖1(a)所示，無(wú)論是一個(gè)怎樣的時(shí)域信號(hào)（不管它是左前輪六分力的垂向分量，還是軸頭加速度，抑或是減振器的相對(duì)位移……），都可以通過(guò)Range Pair計(jì)數(shù)將較小的幅值循環(huán)從隨機(jī)載荷中分離和計(jì)數(shù)出來(lái)，最終得到這樣一個(gè)計(jì)數(shù)結(jié)果：幅值（Range）是多么大的載荷在剛才那樣一個(gè)隨機(jī)時(shí)域信號(hào)中出現(xiàn)了多少回(Pair)。
在此基礎(chǔ)上，結(jié)合Miner線性累積損傷假設(shè)，可以將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)化成與損傷相關(guān)聯(lián)的一種數(shù)值。Miner線性累積損傷假設(shè)不難理解：如圖1(b)所示，如果對(duì)于一個(gè)結(jié)構(gòu)施加單一的恒幅值載荷，根據(jù)相應(yīng)的SN曲線可以知道該結(jié)構(gòu)能夠承受周次的循環(huán)載荷；但是，如果經(jīng)由Range Pair計(jì)數(shù)發(fā)現(xiàn)某一隨機(jī)載荷過(guò)程中對(duì)應(yīng)于幅值為的載荷實(shí)際上一共出現(xiàn)了周次，那么，我們說(shuō)幅值為的載荷造成的損傷為。而這一隨機(jī)載荷造成的總損傷D即為這段隨機(jī)載荷中大大小小不同幅值的載荷造成損傷的“線性累積”，也就是。
(a) Range Pair計(jì)數(shù)示意圖 
        (b) Miner線性損傷累積假設(shè)示意圖
圖1 RangePair計(jì)數(shù)與Miner線性累積損傷假設(shè)1
 
這種將某一隨機(jī)載荷向損傷進(jìn)行的轉(zhuǎn)化是非常粗糙的，因?yàn)檫@里面有太多在進(jìn)行材料和結(jié)構(gòu)疲勞壽命評(píng)估時(shí)需要考慮的因素都沒(méi)有考慮在內(nèi)，因此在車輛耐久性工程領(lǐng)域，我們習(xí)慣于把這種轉(zhuǎn)化生成的與損傷相關(guān)聯(lián)的量值稱為“偽損傷”（Pseudo Damage），或者“相對(duì)損傷”。
這兩個(gè)名字實(shí)在是取的比較妙。“偽損傷”，在于提示和強(qiáng)調(diào)，這種損傷數(shù)值是“偽”的，是假的，把這些個(gè)數(shù)值取倒數(shù)，并不對(duì)應(yīng)疲勞壽命結(jié)果。那么這種量值的存在還有什么意義呢？“相對(duì)損傷”的命名提醒我們，要從“相對(duì)”的角度去理解和利用這一計(jì)算結(jié)果。如圖2所示，如果讓六個(gè)司機(jī)、駕駛同一車輛、在同一路面上各跑一圈，取得六個(gè)數(shù)據(jù)樣本，那么對(duì)這六個(gè)時(shí)域數(shù)據(jù)樣本都進(jìn)行Range Pair計(jì)數(shù)，繼而計(jì)算偽損傷，如圖2所示，偽損傷的數(shù)值有一個(gè)分布和變化，有的大，有的小，這反映了駕駛習(xí)慣的變異性。如上所述，從每一個(gè)損傷的數(shù)值來(lái)看，這六個(gè)損傷數(shù)值都是“偽”的，但是，這六個(gè)數(shù)值之間的“相對(duì)”關(guān)系是真實(shí)的，也就是說(shuō)誰(shuí)開(kāi)車開(kāi)的比較“費(fèi)”，誰(shuí)開(kāi)的比較“省”，這種相對(duì)關(guān)系的反應(yīng)是客觀的。究其原因，是在偽損傷的計(jì)算過(guò)程中，抓住了載荷幅值變化對(duì)于材料和結(jié)構(gòu)疲勞壽命影響這個(gè)最主要的因素，因此盡管其結(jié)果比較粗糙，但是從相對(duì)意義上去理解和利用這一信息還是可以的。
千萬(wàn)不能瞧不起偽損傷這一粗糙的計(jì)算結(jié)果，我們將看到，偽損傷在車輛耐久性工程中是一個(gè)非常重要的量值，在整個(gè)車輛耐久性工程研發(fā)的各個(gè)環(huán)節(jié)，發(fā)揮著貫穿始終和穿針引線的作用。
圖2 從相對(duì)損傷的角度理解和運(yùn)用偽損傷1
    由于車輛耐久性的設(shè)計(jì)指標(biāo)往往關(guān)聯(lián)于某一設(shè)計(jì)里程，因此常常將一段載荷的偽損傷數(shù)值D除以這段載荷所對(duì)應(yīng)的行駛里程L，并將這一數(shù)值稱為偽損傷密度d=D/L，在使用起來(lái)更加方便。與偽損傷相關(guān)的還有其他幾個(gè)常用的“變體”，如等效載荷幅值，也都大同小異。
2 車輛耐久性工程中的重要隨機(jī)變量
什么是隨機(jī)變量？簡(jiǎn)單的說(shuō)，隨機(jī)變量就是“其值隨機(jī)會(huì)而定”的變量。正確把握這一概念的關(guān)鍵在于事件發(fā)生的前后：在事件發(fā)生前，我們不知道它最終將取何值，這個(gè)要憑機(jī)會(huì)（隨機(jī)的意思就在于此）；而一旦事件發(fā)生，它取什么值就確定了。
車輛耐久性工程中的重要“事件”是什么呢？車輛累積行駛里程達(dá)到設(shè)計(jì)里程。比如，對(duì)于乘用車而言，這一事件為車的累積行駛里程達(dá)到（比如說(shuō)）30萬(wàn)公里；對(duì)于商用車而言，這一事件為車的累積行駛里程達(dá)到（比如說(shuō)）120萬(wàn)公里。
車輛耐久性工程中的重要隨機(jī)變量是什么呢？有很多，比如說(shuō)隨機(jī)變量X1：
X1 = 車輛累積行駛里程達(dá)到設(shè)計(jì)里程時(shí)左前輪垂向六分力對(duì)應(yīng)的偽損傷
    類似的：
X2 = 車輛累積行駛里程達(dá)到設(shè)計(jì)里程時(shí)左前輪軸頭垂向加速度對(duì)應(yīng)的偽損傷密度
X3 = 車輛累積行駛里程達(dá)到設(shè)計(jì)里程時(shí)左前懸減振器相對(duì)位移對(duì)應(yīng)的等效載荷幅值
    概括起來(lái)，車輛耐久性工程中的重要隨機(jī)變量是：
Xi = 車輛累積行駛里程達(dá)到設(shè)計(jì)里程時(shí)車輛某處的某載荷對(duì)應(yīng)的偽損傷（或偽損傷密度，或等效載荷幅值，……）
在《車輛耐久性工程的核心挑戰(zhàn)及應(yīng)對(duì)》一文中我們談到過(guò)，由于無(wú)法對(duì)于客戶使用車輛的條件進(jìn)行有效的限定，車輛達(dá)到設(shè)計(jì)里程時(shí)所經(jīng)受的載荷是一個(gè)離散非常嚴(yán)重的隨機(jī)變量。根據(jù)Fisher先生對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)任務(wù)的概括，本篇文章圍繞著“定模型”展開(kāi)一點(diǎn)探討，也就是，“車輛累積行駛里程達(dá)到設(shè)計(jì)里程時(shí)，車輛某處的某載荷對(duì)應(yīng)的偽損傷”Xi =x的概率p = f (x)服從怎樣的分布？如何確定和證明它服從的是這樣一種分布，而不是另外一種分布？這里面涉及的問(wèn)題稱為擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，屬于統(tǒng)計(jì)學(xué)中假設(shè)檢驗(yàn)的范疇，將涉及到兩位統(tǒng)計(jì)學(xué)大家K. Pearson和R. A. Fisher在上世紀(jì)初得到的重要成果。
 
3 他有沒(méi)有出老千！
一個(gè)哥們兒在賭場(chǎng)玩篩盅，如魚(yú)得水，被人懷疑在篩子上做了手腳，這種情況下如何分別是非？
我們需要為了這場(chǎng)官司做一些“統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)”。隨機(jī)的把這個(gè)篩子拋n次（也就是統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)重復(fù)n次），比如說(shuō)n=60次，記錄下每一次獲得的點(diǎn)數(shù)。“理論”上說(shuō)，如果這個(gè)篩子做的不偏不倚，每一個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的機(jī)會(huì)（概率pi）都是一樣的，也就是pi=1/6，i=1,2,…,6，因此，理論上說(shuō)每一個(gè)點(diǎn)數(shù)都會(huì)出現(xiàn)10次，當(dāng)然，這是理想狀態(tài)（理論值）。我把60次統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果匯總，獲得如表1所示，各個(gè)點(diǎn)數(shù)實(shí)際出現(xiàn)的次數(shù)vi，如表1所示，比如說(shuō)v1=12，v2=13，等等。
表1 統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)理論和實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果匯總
    顯然，我們不指望每一個(gè)點(diǎn)數(shù)最終獲得的試驗(yàn)結(jié)果也都是10次，與理論值百分之百的吻合，但是很自然的，如果表1中后兩行差異越小，我們會(huì)越覺(jué)得實(shí)際結(jié)果與理論結(jié)果吻合的越好?，F(xiàn)在要找出一個(gè)適當(dāng)?shù)牧縼?lái)反映這種差異。K. Pearson采用的量是
這個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量稱為Pearson的擬合優(yōu)度統(tǒng)計(jì)量，簡(jiǎn)稱統(tǒng)計(jì)量。K. Pearson在1900年的證明：如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果服從某一分布模型（本例中，如果篩子沒(méi)有被做手腳而服從均勻分布模型），那么在樣本大小時(shí)（也就是將擲篩子的試驗(yàn)無(wú)窮盡的進(jìn)行下去），Z的分布趨向于k-1自由度的分布，即，本例中k=6。這樣，我們可以根據(jù)K. Pearson的重要結(jié)論對(duì)于篩子是否被做過(guò)手腳這件事給出一個(gè)科學(xué)和明確的判斷。
4 檢驗(yàn)
我們將上一小節(jié)由K. Pearson提出的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法稱之為檢驗(yàn)。在上一小節(jié)中我們用一個(gè)擲篩子的例子，基本闡述了進(jìn)行檢驗(yàn)的要點(diǎn)、步驟和流程。但是，擲篩子的例子是一個(gè)離散型的分布模型，而第2小節(jié)提到的車輛工程中的重要隨機(jī)變量Xi是一個(gè)連續(xù)型的隨機(jī)變量，其對(duì)應(yīng)的分布模型也將是連續(xù)型的分布模型。在針對(duì)該連續(xù)型的隨機(jī)變量進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，其大的流程框架不變，但是在一些細(xì)節(jié)的處理上稍有不同，而且在某些情況下檢驗(yàn)所仰仗的核心定理也需要有所修正，這里面蘊(yùn)含著K. Pearson一直沒(méi)有意識(shí)到的一個(gè)錯(cuò)誤，而這一錯(cuò)誤直到1924年才被R. A. Fisher糾正過(guò)來(lái)。
假設(shè)我們想證明或判斷一下，某連續(xù)性隨機(jī)變量是否服從正態(tài)分布，而該正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù)，均值和方差，我們是事先不知道的，這個(gè)情形是我們?cè)趯?shí)際工程中最常見(jiàn)的狀況。那么如何把這一情形轉(zhuǎn)化成上一小節(jié)擲篩子的情形呢？
首先，把隨機(jī)變量在其取值范圍上分割成k個(gè)區(qū)間
為了獲得表1中的理論解，我們需要計(jì)算正態(tài)分布模型在每個(gè)區(qū)間中的概率，這一過(guò)程并不好算，一個(gè)近似的方法是通過(guò)參數(shù)估計(jì)（這是下一篇文章談?wù)摰脑掝}）獲得樣本均值和樣本方差，從而確定正態(tài)分布模型，然后計(jì)算該正態(tài)分布模型“落在”各個(gè)區(qū)間上的理論值。
試驗(yàn)值比較好算，根據(jù)實(shí)際試驗(yàn)結(jié)果看看落在各個(gè)區(qū)間上的試驗(yàn)值是多少就可以。這樣，問(wèn)題就回到了上一小節(jié)的情形。
我們注意到，剛才在確定正態(tài)分布的時(shí)候，分布模型的兩個(gè)參數(shù)（均值和方差）我們事先是不知道的，需要通過(guò)參數(shù)估計(jì)獲得這兩個(gè)參數(shù)的估計(jì)值。這一細(xì)節(jié)使得K. Pearson在1900年給出的定理是有瑕疵的，R.A. Fisher在1924年糾正了這一缺陷，給出了如下完美的重要定理：
如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果服從某一分布模型，而分布模型中有r個(gè)參數(shù)需要估計(jì)，那么在樣本大小時(shí)，Z的分布趨向于k-1-r自由度的分布，即，定理中k表示劃分成的區(qū)間數(shù)目。
運(yùn)用檢驗(yàn)，我們可以對(duì)于車輛耐久性工程中的重要隨機(jī)變量，即
Xi = 車輛累積行駛里程達(dá)到設(shè)計(jì)里程時(shí)車輛某處的某載荷對(duì)應(yīng)的偽損傷（或偽損傷密度，或等效載荷幅值，……）
服從什么樣的分布得出明確的結(jié)論，這一工作在車輛耐久性工程中已經(jīng)有了相當(dāng)?shù)姆e累，目前一般認(rèn)為2，Xi 服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布。而其他行業(yè)對(duì)類似問(wèn)題的研究也已經(jīng)取得了一些重要的結(jié)論，如圖3所示，可供參考。
有了檢驗(yàn)這一利器，即便面對(duì)一些不太熟悉的隨機(jī)變量、對(duì)其服從什么分布的問(wèn)題不是很清楚，只要有一些樣本數(shù)據(jù)的支撐，就可以經(jīng)由檢驗(yàn)給出明確的結(jié)論。
圖3 航空航天行業(yè)典型使用工況中環(huán)境載荷所服從的分布3
附錄：Karl Pearson（1857～1936），生卒于倫敦，公認(rèn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)之父。K. Pearson 最重要的學(xué)術(shù)成就，是為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)打下基礎(chǔ)。許多熟悉的統(tǒng)計(jì)名詞如標(biāo)準(zhǔn)差，成分分析，卡方檢驗(yàn)都是他提出的。
參考文獻(xiàn)
1. 來(lái)源于西門子工業(yè)軟件有限公司內(nèi)部資料.
2. P.Johannesson, M. Speckert, Guide to load analysis for durability in vehicleengineering, 2014, Edition I, John Wiley & Sons, Ltd.
3.Christian Lalanne, Mechanical environment test specification developmentmethod, 1997, Edition III.
 
李旭東，2003年畢業(yè)于大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，獲工學(xué)學(xué)士學(xué)位；2008年畢業(yè)于北京大學(xué)力學(xué)系固體力學(xué)專業(yè)，獲理學(xué)博士學(xué)位。2008年至2014年，就職于中國(guó)航空綜合技術(shù)研究所，歷任工程師、高級(jí)工程師；2015年至今，就職于西門子工業(yè)軟件（北京）有限公司，任職耐久性應(yīng)用工程師。長(zhǎng)期專注于（金屬）材料和結(jié)構(gòu)耐久性和損傷容限分析方法研究。
 
作者個(gè)人微信號(hào)：lixudong2008 （添加微信號(hào)請(qǐng)注明“姓名+工作單位”） 
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