到上一篇公眾號(hào)文章《試驗(yàn)?zāi)B(tài)（四）——模態(tài)振型》為止，我們已經(jīng)基本涉及了模態(tài)理論相關(guān)的所有概念，完成了MDOF系統(tǒng)模態(tài)理論主要內(nèi)容的闡述。如上篇文章中所談及，模態(tài)理論的推導(dǎo)有兩種數(shù)學(xué)方法，得到的模態(tài)參數(shù)雖各有異同。然而無論哪種理論方法，所反映的結(jié)構(gòu)模態(tài)本質(zhì)一定是相通的。

本篇文章的目的，首先是講清楚兩種數(shù)學(xué)方法所得到的模態(tài)參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，其次展示所有這些模態(tài)參數(shù)在某商業(yè)軟件中的體現(xiàn)，希望能為結(jié)構(gòu)振動(dòng)/模態(tài)工程師的工作帶來一些幫助。

—— 1#老槍

1

模態(tài)理論的兩種推導(dǎo)方式

對(duì)于模態(tài)理論的推導(dǎo)，如圖1所示，大體上有以下兩種方式：

第一種方式基于復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)理論（圖1左側(cè)），也就是本公眾號(hào)近幾篇文章所主要采用的方式。基于MDOF系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的Laplace變換，從動(dòng)剛度矩陣求逆的傳函表達(dá)形式出發(fā)，首先由動(dòng)剛度矩陣行列式的零點(diǎn)，確定出傳函的極點(diǎn)；再基于留數(shù)定理，將傳函變形為留數(shù)/極點(diǎn)表示的部分分式形式，并進(jìn)一步由留數(shù)引出模態(tài)振型的概念。最終，引入載荷向量，推導(dǎo)得到“結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)為各階模態(tài)振型線性疊加“的結(jié)論。

第二種方式，也是絕大部分模態(tài)相關(guān)書籍所采用的方式（圖1右側(cè)），首先從求解MDOF系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程入手，將微分方程變換為廣義特征值問題；求解得到特征值（模態(tài)極點(diǎn)）、特征向量（模態(tài)振型）；結(jié)合模態(tài)正交性，證明模態(tài)線性疊加理論；最后，推導(dǎo)出廣義模態(tài)參數(shù)（模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度、模態(tài)阻尼）及振型的頻響函數(shù)表達(dá)形式。

圖1 模態(tài)理論的兩種闡述過程

基于復(fù)變函數(shù)理論的推導(dǎo)過程，無需考慮系統(tǒng)的阻尼類型，或者說無論是實(shí)模態(tài)還是復(fù)模態(tài)，其所有結(jié)論都具有普遍意義。但其中關(guān)于模態(tài)極點(diǎn)的獲取，需要求解高階方程|Z(s)|=0。而高階方程（≥5階）的求解，往往難以通過代數(shù)方法直接實(shí)現(xiàn)，常用的方法仍是將其轉(zhuǎn)換為矩陣特征值問題，用數(shù)值方法進(jìn)行求解。

反觀基于微分方程求解的推導(dǎo)過程，雖然基于矩陣的求解便于計(jì)算，但從特征值/特征向量求解一開始，就限定于實(shí)模態(tài)（無阻尼或比例阻尼），因此很多結(jié)論就只適用于實(shí)模態(tài)。例如，關(guān)于質(zhì)量/剛度/阻尼的模態(tài)正交性，以及基于這些模態(tài)廣義參數(shù)的模態(tài)線性疊加表達(dá)形式，理論上嚴(yán)格來講，都僅限于實(shí)模態(tài)。

實(shí)際上，對(duì)于具有一般粘性阻尼特性結(jié)構(gòu)的復(fù)模態(tài)而言，振動(dòng)微分方程的求解需要通過額外構(gòu)建狀態(tài)方程來完成。此時(shí)，模態(tài)正交性所對(duì)應(yīng)的將不再是模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度，而是抽象的廣義模態(tài)參數(shù)a和b（br / ar =－λr）。當(dāng)然，系統(tǒng)響應(yīng)仍然滿足模態(tài)線性疊加理論，表達(dá)形式如下（具體推導(dǎo)過程可參考文獻(xiàn)1）：

公式(1)和(2)是通過微分方程求解所得到的復(fù)模態(tài)的普遍表達(dá)形式，將其與復(fù)變函數(shù)方式推導(dǎo)得到的結(jié)論相對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)，模態(tài)參數(shù)a和比例因子Q互為倒數(shù)。

這里，需要說明的是：雖然在現(xiàn)實(shí)中，所有結(jié)構(gòu)的模態(tài)都是復(fù)模態(tài)，實(shí)模態(tài)只是一種理論假設(shè)，但在工程中，大多數(shù)情況下我們?nèi)匀皇褂玫氖菍?shí)模態(tài)理論。例如對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)仿真計(jì)算，大部分場(chǎng)合都是做實(shí)模態(tài)分析。這是因?yàn)槿缟掀恼滤?，結(jié)構(gòu)的阻尼參數(shù)往往難以精確確定。工程上往往先通過實(shí)模態(tài)，將結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度特性明確下來，而后再結(jié)合試驗(yàn)?zāi)B(tài)結(jié)果，將結(jié)構(gòu)的阻尼信息引入模型，進(jìn)行下一步的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析。

圖1中的兩種方法，雖然采用的數(shù)學(xué)方法不同，但最終所反映的模態(tài)本質(zhì)是相同的，因此二者之間必然有內(nèi)部的聯(lián)系。首先，復(fù)變函數(shù)中的極點(diǎn)求解，與微分方程中的廣義特征根是完全對(duì)應(yīng)的，都是求解動(dòng)剛度矩陣行列式的零點(diǎn)。然而：

1）模態(tài)振型的求解過程是不一樣的，前者從留數(shù)矩陣A中直接得到，后者對(duì)應(yīng)特征向量。既然最終對(duì)應(yīng)的是同一組參數(shù)，那么兩者到底存在怎樣的內(nèi)在關(guān)聯(lián)？

2）如前所述，我們知道復(fù)變函數(shù)方法中的比例因子Q與復(fù)模態(tài)微分方程求解中的模態(tài)a互為倒數(shù)，但二者都是沒有明確物理意義的抽象參數(shù)。而通過實(shí)模態(tài)正交性所得到的廣義模態(tài)參數(shù)（mr，kr，cr），可以把結(jié)構(gòu)頻響或振動(dòng)響應(yīng)表達(dá)為多個(gè)SDOF系統(tǒng)的線性疊加。顯然，后者比前者更具有直觀的物理意義。那么比例因子Q與廣義模態(tài)參數(shù)之間又是怎樣的關(guān)系？

下面，我們就上述兩個(gè)問題分別進(jìn)行闡述。

2

留數(shù)矩陣A與特征向量φ的關(guān)系

傳遞函數(shù)矩陣與動(dòng)剛度矩陣的關(guān)系為：

我們?cè)凇?/span>試驗(yàn)?zāi)B(tài)（三）——留數(shù)的概念》中提到，對(duì)于n自由度系統(tǒng)，行列式| Z(s)| 是最高次項(xiàng)為s2n的多項(xiàng)式。

將分母多項(xiàng)式分解為極點(diǎn)表達(dá)形式，則為：

用《試驗(yàn)?zāi)B(tài)（三）——留數(shù)的概念》中的求極限方法（規(guī)則I）求取各階留數(shù)矩陣，如第r階留數(shù)為：

可以看到，式(6)中除伴隨矩陣之外的部分為一個(gè)常系數(shù)，將其定義為Pr：

則有：

因?yàn)闃O點(diǎn)λr是|Z(λr)|的零點(diǎn)，因此有：

將式(9)和微分方程方法中廣義特征值/特征向量的求解方程(10)相對(duì)比：

就會(huì)理解:adj[Z(λr)]中的每一列，都應(yīng)與特征值λr所對(duì)應(yīng)的特征向量（振型）成線性比例關(guān)系。設(shè)二者相差一個(gè)系數(shù)Kr，考慮到留數(shù)矩陣為對(duì)稱矩陣，則有：

將兩個(gè)常系數(shù)Pr，Kr乘積合并為一個(gè)常系數(shù)Qr（比例因子），得到：

到此，我們就完成了留數(shù)矩陣A與特征向量（振型）φ之間關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)。

2

比例因子Qr 和模態(tài)質(zhì)量mr 的關(guān)系

在通常情況下，試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到的結(jié)果都是復(fù)模態(tài)，模態(tài)參數(shù)理應(yīng)包括：模態(tài)極點(diǎn)/特征值λ，留數(shù)A，模態(tài)振型φ，比例因子Q，模態(tài)a，模態(tài)b等。然而，實(shí)際上在模態(tài)分析軟件中仍可得到實(shí)模態(tài)所對(duì)應(yīng)的廣義模態(tài)參數(shù)（模態(tài)質(zhì)量mr、模態(tài)剛度kr、模態(tài)阻尼cr）。

這個(gè)過程是：通過試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識(shí)別得到極點(diǎn)及留數(shù)矩陣后，先選擇一定的振型歸一化方式，確定出各階模態(tài)的振型向量及比例因子Qr；而后認(rèn)為結(jié)構(gòu)近似于實(shí)模態(tài)特性，根據(jù)實(shí)模態(tài)下比例因子Qr和模態(tài)質(zhì)量mr的關(guān)系，取Qr的虛部換算出各階模態(tài)質(zhì)量以及模態(tài)剛度。下面我們就具體說明：實(shí)模態(tài)條件下，比例因子Qr和模態(tài)質(zhì)量mr的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

MDOF系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的極點(diǎn)/振型表達(dá)形式為：

對(duì)于實(shí)模態(tài)而言，阻尼為0，極點(diǎn)為純虛數(shù)，模態(tài)向量為純實(shí)數(shù)，比例因子為純虛數(shù)。因此有：λr= jωr，λr*=－jωr，φr* = φr，Qr*=－Qr。取 s =jω，得到頻響函數(shù)矩陣：

以及結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)：

其中模態(tài)坐標(biāo)qr為：

而根據(jù)上篇公眾號(hào)《試驗(yàn)?zāi)B(tài)（四）—模態(tài)振型》公式(22)，由實(shí)模態(tài)正交性得到的模態(tài)坐標(biāo)為：

將上式右側(cè)分子分母同時(shí)除以mr，并根據(jù)kr / mr= ωr2，得到：

為方便觀察，我們將公式(16)和(18)放在一起：

可以看出比例因子Qr與模態(tài)質(zhì)量mr的關(guān)系為：

例如，以《試驗(yàn)?zāi)B(tài)（四）——模態(tài)振型》中的2DOF系統(tǒng)為例，兩階固有頻率為：ω1=5 rad/s，ω2=  rad/s，當(dāng)兩階振型表示為  和  時(shí)，比例因子  ，  。而根據(jù)模態(tài)正交性得到的模態(tài)質(zhì)量為：m1=5.5 kg，m2=11/9 kg。不難驗(yàn)證，比例因子Qr和模態(tài)質(zhì)量mr的關(guān)系的確滿足式(20)。

在試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析中，通過選擇某種振型向量歸一化方式，確定出各階模態(tài)的比例因子Qr，然后根據(jù)公式(20)計(jì)算出模態(tài)質(zhì)量，再進(jìn)一步得到模態(tài)剛度kr = mr ωr2。而模態(tài)阻尼cr，我們?cè)谏弦黄烟岬?，可直接通過該階模態(tài)的臨界阻尼比ξr計(jì)算得到：cr = 2ξr mr ωr。至此，我們就得到了所有廣義模態(tài)參數(shù)。

注：對(duì)于公式(19)，因?yàn)椋?/span>  ，括號(hào)中的后半部分為單調(diào)遞減函數(shù)。以圖2固有頻率為10Hz為例，可以看到后半部分（藍(lán)色曲線）隨著頻率上升，快速衰減。當(dāng)頻率接近固有頻率附近時(shí)，后半部分更遠(yuǎn)小于前半部分，通常可以忽略。因此有：  ，所以公式(19)中的模態(tài)坐標(biāo)可簡(jiǎn)化為：  

圖2 模態(tài)坐標(biāo)的簡(jiǎn)化說明

實(shí)際上，在上篇公眾號(hào)文章《試驗(yàn)?zāi)B(tài)（四）——模態(tài)振型》模態(tài)線性疊加理論部分，我們提到傳函的后半段共軛部分可省去，其原因與上類似。

4

試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析軟件中的模態(tài)參數(shù)

下面我們來結(jié)合某經(jīng)典的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析軟件，說明具體在哪里可以查看到各個(gè)模態(tài)參數(shù)。

在Navigator的模態(tài)分析結(jié)果中，選中要查看的模態(tài)，鼠標(biāo)右鍵選擇Properties菜單，就會(huì)彈出該階次模態(tài)的屬性框。

首先在第1個(gè)Details標(biāo)簽頁，我們依次能看到振型歸一化的方法（Scaling）、模態(tài)極點(diǎn)（Pole）、無阻尼/有阻尼固有頻率（Undamped resonance Frequency/ Frequency），以及模態(tài)臨界阻尼比（Damping）。

而對(duì)于廣義模態(tài)參數(shù)，如前所述，由比例因子Q決定，因此采用不同的歸一化方法，其值也將不同。關(guān)于不同的歸一化方法，讀者可參閱《試驗(yàn)?zāi)B(tài)（一）模態(tài)分析的歸一化和意義》。

圖3即為我們一直使用的2DOF系統(tǒng)例子，所對(duì)應(yīng)的模態(tài)參數(shù)及廣義模態(tài)參數(shù)，振型歸一化方法采用Unity Component方法（將DOF:1自由度振型系數(shù)置為1，振型向量同比縮放）。大家可自行與《試驗(yàn)?zāi)B(tài)（四）——模態(tài)振型》中的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

圖3 試驗(yàn)?zāi)B(tài)軟件中的模態(tài)參數(shù)（1）—極點(diǎn)、頻率、阻尼及廣義模態(tài)參數(shù)

（P.S. 在上篇文章中，自然頻率f與圓頻率ω的轉(zhuǎn)換在excel中不留神把兩列弄反了，因此在兩階振型動(dòng)畫，以及圖1的模態(tài)疊加法振動(dòng)響應(yīng)分析結(jié)果中，f (Hz) 的值是錯(cuò)誤的，應(yīng)除以4π2，在這里為給各位讀者造成的困擾致歉，懇請(qǐng)大家諒解。）

在Details標(biāo)簽頁，雖然沒有比例因子Q，但可以查看到模態(tài)a（ModalA）。如前所述，二者互為倒數(shù)關(guān)系。圖4中可以看到模態(tài)a的實(shí)部通常都很小，接近于純虛數(shù)。

此外，軟件還提供根據(jù)振型向量計(jì)算得到實(shí)模態(tài)驗(yàn)證結(jié)果，包括：各自由度的相位分散程度（Scatter），平均相位偏移（Mean phase deviation，MPD）以及相位共線性（Modal phase collinearity，MPC），以幫助客戶判定該階模態(tài)近似于實(shí)模態(tài)的程度。

圖4 試驗(yàn)?zāi)B(tài)軟件中的模態(tài)參數(shù)（2）—模態(tài)b和模態(tài)a，及實(shí)模態(tài)驗(yàn)證

在下一個(gè)標(biāo)簽頁Modeshapes中（圖5），我們將看到分別以幅值/相位及實(shí)部/虛部表示的各階模態(tài)振型向量。通常來說，可以看到模態(tài)振型的虛部相比較實(shí)部很小，接近于實(shí)數(shù)向量。相位接近于0°（同向）或180°（反向）。

圖5 試驗(yàn)?zāi)B(tài)軟件中的模態(tài)參數(shù)（3）—模態(tài)振型

對(duì)于第3個(gè)標(biāo)簽頁的模態(tài)參與因子（Participation factors），在大部分振動(dòng)或模態(tài)書籍中沒有這個(gè)概念。模態(tài)參與因子用于多參考模態(tài)分析中，可以用于模態(tài)試驗(yàn)激勵(lì)充分性驗(yàn)證。限于篇幅，我們暫且留待以后再介紹。

除了以上模態(tài)參數(shù)之外，在軟件的Modal Validation界面，還可以查看留數(shù)A（Residues）。與比例因子及模態(tài)a一樣，當(dāng)結(jié)構(gòu)越趨近于實(shí)模態(tài)特性，留數(shù)也將越趨近于純虛數(shù)。

圖6 試驗(yàn)?zāi)B(tài)軟件中的模態(tài)參數(shù)（4）—留數(shù)

綜上，在結(jié)構(gòu)趨近實(shí)模態(tài)特征時(shí)，就所有模態(tài)參數(shù)的實(shí)/虛特性，簡(jiǎn)單總結(jié)如下（“→”表示“趨近于”）：

5

小結(jié)

這篇公眾號(hào)文章的主要目的在于：對(duì)于模態(tài)理論的闡述，實(shí)際存在兩種數(shù)學(xué)理論，而這兩種理論會(huì)產(chǎn)生不同的模態(tài)參數(shù)或概念。比如，國內(nèi)外大部分模態(tài)書籍，都是微分方程求解的思路。因此，很可能讀者翻遍整本書，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多模態(tài)概念（比如極點(diǎn)、留數(shù)、甚至比例因子）根本就找不到，或只是被用類似于“這個(gè)參數(shù)被稱為…”這樣的一句話帶過。這就造成工程師在使用模態(tài)相關(guān)的工程軟件時(shí)，很多參數(shù)無法理解。

即使有些書（如筆者本篇文章的主要參考文獻(xiàn)[2]）會(huì)從復(fù)變函數(shù)的角度講解，但可惜文字闡述非常精煉，對(duì)于初學(xué)者不是很友好，且也未能將兩種不同理論的區(qū)別與聯(lián)系完全說清楚。比如試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到的復(fù)模態(tài)分析結(jié)果，為什么還能對(duì)應(yīng)出本應(yīng)實(shí)模態(tài)才有的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度這些參數(shù)。

鑒于上述原因，盡管試驗(yàn)?zāi)B(tài)技術(shù)已經(jīng)在國內(nèi)應(yīng)用了20余年，然而工程師在使用工程軟件過程中，往往還是只能停留在頻率、阻尼、振型這三個(gè)最基本的模態(tài)參數(shù)的層面，無法實(shí)現(xiàn)模態(tài)數(shù)據(jù)更深層次的應(yīng)用。舉例來說：通過試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析得到的廣義模態(tài)參數(shù)，實(shí)際上工程師無需使用CAE軟件，通過模態(tài)線性疊加，就可以直接對(duì)結(jié)構(gòu)各部位的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)。這一點(diǎn)恐怕是大多數(shù)工程師沒有意識(shí)到的。

因此，在本篇公眾號(hào)文章中，筆者試圖通過以下幾方面，幫助讀者理清脈絡(luò)：

• 簡(jiǎn)要說明了模態(tài)理論兩種闡述方式的區(qū)別：基于Laplace變換復(fù)變函數(shù)理論推導(dǎo)得到的結(jié)論適用性廣（無論實(shí)模態(tài)還是復(fù)模態(tài)均使用）；而實(shí)模態(tài)假設(shè)下的微分方程求解雖然有一定局限性，但所得到的基于廣義模態(tài)參數(shù)的SDOF系統(tǒng)線性疊加結(jié)論，其物理意義更為明確。

• 雖然數(shù)學(xué)方法不同，但最終的模態(tài)本質(zhì)是一樣的，就兩種方法的內(nèi)部關(guān)聯(lián)進(jìn)行了分析說明。對(duì)留數(shù)矩陣與特征向量關(guān)系進(jìn)行了嚴(yán)格推導(dǎo)，并明確了比例因子與模態(tài)質(zhì)量的關(guān)系：mr = 1 / (2jωrQr)。說明了如何從試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析所得到的復(fù)模態(tài)分析結(jié)果中，進(jìn)一步計(jì)算得到各項(xiàng)廣義模態(tài)參數(shù)（模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度及模態(tài)阻尼）。

• 結(jié)合試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析的某商業(yè)軟件，說明了在哪里可以查看到各項(xiàng)模態(tài)參數(shù)。（如果大家對(duì)最近幾篇文章所使用的2DOF示例數(shù)據(jù)感興趣，可發(fā)郵件至3630073941@qq.com索取，或直接申請(qǐng)QQ好友，會(huì)不定期發(fā)送。P.S.數(shù)據(jù)為2021版本的項(xiàng)目文件，需要有相對(duì)應(yīng)版本的軟件才可以打開。）

文章一旦牽涉理論，總是難免大量公式。但對(duì)于致力于想把模態(tài)弄明白的朋友，筆者相信，通過本公眾號(hào)相關(guān)的幾篇文章，認(rèn)認(rèn)真真多讀幾遍，您一定會(huì)有別樣的收獲。如有問題需要探討或指正，請(qǐng)發(fā)郵件至上述郵箱與筆者交流。

疫情已近三年，希望“大疫不過三”即將實(shí)現(xiàn)。祝大家遠(yuǎn)離病毒，身體健康。我們下篇文章再見。

參考文獻(xiàn)

[1]李德葆, 陸秋海. 實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析及其應(yīng)用[M]. 科學(xué)出版社, 2001.

[2]沃德·海倫等. 模態(tài)分析理論與試驗(yàn)[M]. 北京理工大學(xué)出版社, 2001.