上文中，主要討論正弦掃頻振動(dòng)試驗(yàn)中，掃頻速度及掃頻方向和振動(dòng)響應(yīng)之間的關(guān)系，并結(jié)合個(gè)人經(jīng)驗(yàn)提供了一種比較可靠的掃頻方法來尋找共振點(diǎn)。文中提到一個(gè)無量綱參數(shù)η和兩個(gè)半經(jīng)驗(yàn)公式，如下式（1）（2）（3）所示，式中A0為共振時(shí)振動(dòng)響應(yīng)完全飽和時(shí)的振幅，f0為試驗(yàn)體的共振頻率（和本文中的fn是一個(gè)概念），本文就這三式的由來，理論上和試驗(yàn)上進(jìn)行說明。

  前文所述，用試驗(yàn)體的共振頻率直接給試驗(yàn)體正弦定頻加振（掃頻速度為零），試驗(yàn)體的振動(dòng)響應(yīng)會(huì)慢慢成長，一定時(shí)間加振持續(xù)，試驗(yàn)體的振動(dòng)響應(yīng)飽和（完全共振），振幅達(dá)到Q值（Q=1/（2ζ）），如下圖1所示，

并得到，

上式中可以看出，定頻加振時(shí)過渡狀態(tài)的振幅與ζωnt有依存關(guān)系，由試驗(yàn)體的Q（Q=1/（2ζ））值和負(fù)載的循環(huán)數(shù)N（N=ωnt/（2π））決定。通過以下變形可得到，

引入無量綱參數(shù)η，

正弦振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)的η如果可以定量評價(jià)的話，那么就能對正弦振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)的響應(yīng)就行評價(jià)。η可以通過以下的順序進(jìn)行算出。

（1）試驗(yàn)體的Q值，從低量級的加振（特性確認(rèn)加振）結(jié)果，利用半功率法的共振頻率fn和半功率帶寬Δf可以求出，如下圖2，

（2）正弦振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)的循環(huán)數(shù)是通過試驗(yàn)體的共振頻率fn及Q值求出的半功率頻帶（Δf=fn/Q）內(nèi)的循環(huán)數(shù)。

（3）半功率頻帶內(nèi)的加振時(shí)間為Δt（sec），假定帶寬內(nèi)的掃頻速度一定，則通過試驗(yàn)體的共振頻率時(shí)的掃頻速度為df，

另外，df和掃頻速度β（oct/min）的關(guān)系如下，

頻率和時(shí)間的函數(shù)式

微分可得

將上式代入（5）式，得到半功率頻帶

（4）利用試驗(yàn)體的共振頻率fn和（6）式，可得到在Δt內(nèi)的循環(huán)數(shù)N為，

最后，將（7）式代入（4）式，得到，

  利用無量綱參數(shù)η可以對單自由度振動(dòng)模型進(jìn)行模擬，得到加速度響應(yīng)峰值變化率及頻率變化量和η的關(guān)系，如下圖3所示，本模擬是將單自由度振動(dòng)模型的Q值作為參數(shù)，η從0.1～1000變化得到的結(jié)果。通過模擬結(jié)果，利用最小二乘法得到近似曲線，導(dǎo)出半經(jīng)驗(yàn)公式（1）和（2）。圖中可以看出，峰值頻率的偏移量，η越大，偏移量也越大。

對于式（1）和（2）的精度可以通過下面的簡易試驗(yàn)得到驗(yàn)證。試驗(yàn)體的共振頻率和Q值如下表1，試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D4所示。

 本試驗(yàn)，使用帶有表1中動(dòng)特性的試驗(yàn)體，進(jìn)行下面6種掃頻速度進(jìn)行加振，

0.25, 0.5, 1, 2, 4, 8 [oct/min]

得到響應(yīng)值變化率及峰值頻率偏移量，掃頻方向?yàn)橄蛏蠏哳l和向下掃頻兩種。試驗(yàn)得到的數(shù)值結(jié)果和式（1）（2）計(jì)算值曲線進(jìn)行比較，如圖5。可以看出，試驗(yàn)結(jié)果和計(jì)算值基本一致，響應(yīng)值變化率最大約有0.075誤差，頻率偏移量最大約有2.9誤差。誤差可能是由試驗(yàn)體的動(dòng)特性（共振頻率、Q值）誤差以及非線性造成的。

總結(jié)：

 掃頻速度及掃頻方向和振動(dòng)響應(yīng)的關(guān)系，通過兩篇文章來進(jìn)行說明，相對來說是比較復(fù)雜，理解起來也比較吃力，供學(xué)有余力的同行者參考。如有時(shí)間和興趣，不妨可以按照文中模型自行進(jìn)行試驗(yàn)加以驗(yàn)證。

參考資料：J.A.Lollock,THE EFFECT OF SWEPT SINUSOIDAL EXCITATION ON THE RESPonSE OF A SINGLE-DEGREE-OF-FREEDOM OSCILLATOR, AIAA-2002-1230