線性化適當(dāng)性的最后一個(gè)測(cè)試是查看線性化系統(tǒng)是否以直觀的方式響應(yīng)增益變化。微調(diào) LQR 控制器的一種方法是選擇與平衡值的最大可接受偏差相對(duì)應(yīng)的協(xié)方差，如 （14） 和 15 所示。對(duì)于輸入，與平衡值的最大可接受偏差本質(zhì)上是最大可接受反饋。

由于更改了Q矩陣或R矩陣調(diào)整所有增益，一個(gè)簡(jiǎn)單的測(cè)試是改變一個(gè)輸入的最大可接受反饋，看看閉環(huán)系統(tǒng)是否用另一個(gè)輸入進(jìn)行補(bǔ)償。圖 16 和圖 17 顯示了在 的最大可接受反饋沿軌跡變化時(shí)穩(wěn)定平衡的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。代表最大可接受反饋值的每個(gè)協(xié)方差對(duì)應(yīng)的增益在大約一圈內(nèi)保持不變。每幅圖中的垂直線表示增益發(fā)生變化的時(shí)間。實(shí)驗(yàn)顯示，所有其他和項(xiàng)保持不變，包括最大可接受反饋.

圖 16.當(dāng)跟蹤各種最大可接受反饋值的單個(gè)平衡時(shí)，轉(zhuǎn)向和油門(mén)輸入.頂部?jī)蓚€(gè)圖以紅色顯示輸入命令，平衡值為黑色虛線。每個(gè)圖中的垂直線表示何時(shí)改變。底部圖顯示了。請(qǐng)注意，作為增加，則命令增加和命令減少。

圖 17.狀態(tài)跟蹤性能，用于跟蹤各種最大可接受反饋值的單個(gè)平衡.通過(guò) LQR 控制的四種狀態(tài)以藍(lán)色表示測(cè)量值，以黑色虛線表示平衡值。每條垂直線表示.的四個(gè)不同的最大可接受反饋值分別為 500 N、1000 N、2500 N 和 3500 N，如圖 16 的最底部圖所示。

由于 LQR 設(shè)計(jì)中的所有權(quán)重都是相對(duì)的，減少一個(gè)輸入的最大可接受反饋量將要求控制器更加依賴(lài)另一個(gè)輸入。實(shí)驗(yàn)結(jié)果恰恰證明了使用和以穩(wěn)定車(chē)輛。如圖 16 所示，隨著最大可接受反饋值的增加，指令的可變性增大，而  指令的可變性減小。只需調(diào)整矩陣的一個(gè)元素，控制器就能做出直觀的響應(yīng)。

圖 17 顯示了 R 矩陣調(diào)整實(shí)驗(yàn)中的四種 LQR 狀態(tài)。在的四個(gè)不同的最大可接受反饋值中，則第一個(gè)最大可接受反饋值似乎過(guò)低。由于控制器需要更多的來(lái)減小狀態(tài)誤差，因此該部分的四個(gè)狀態(tài)誤差都較大。隨后的三個(gè)最大可接受反饋值產(chǎn)生了令人滿(mǎn)意的狀態(tài)跟蹤結(jié)果。因此，決定的最大可接受反饋值僅僅是兩個(gè)輸入指令所需的可變性問(wèn)題，可以在此范圍內(nèi)任意選擇一個(gè)值。

   Ⅵ 討論    

與其他跟蹤所需準(zhǔn)平衡路徑 [6]、[5] 的漂移控制器相比，該控制器可實(shí)現(xiàn)更準(zhǔn)確的路徑跟蹤結(jié)果，特別是要低得多的 RMS 橫向路徑跟蹤誤差。Goh 等人實(shí)現(xiàn)了 18 cm 的 RMS 跟蹤誤差 [5]，Goel 等人實(shí)現(xiàn)了 42 cm 的 RMS 跟蹤誤差 [6]，而該控制器的 RMS 跟蹤誤差僅為 3.7 cm。我們介紹的方法的優(yōu)勢(shì)在于線性模型控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用。雖然 Goh 和 Goel 依賴(lài)于非線性模型和特別選擇的誤差動(dòng)態(tài)，而這里開(kāi)發(fā)的控制器是一個(gè)基于線性模型的 LQR 控制器，外加一個(gè)比例反饋加前饋回路。LQR 技術(shù)無(wú)需嚴(yán)格遵守任意誤差動(dòng)態(tài)，因此會(huì)產(chǎn)生更好的跟蹤結(jié)果。此外，這種簡(jiǎn)單明了的控制器還便于直觀地選擇和調(diào)整輸入權(quán)重。

圖 18 顯示了 [5] 中描述的非線性控制器與此處開(kāi)發(fā)的線性控制器之間的更直接比較。實(shí)驗(yàn)從非線性控制器開(kāi)始，然后在大約 23.4 秒時(shí)切換到線性控制器。雖然此數(shù)據(jù)集開(kāi)始時(shí)使用的非線性控制器成功地實(shí)現(xiàn)并保持了所需的狀態(tài)，但當(dāng)線性控制器接手時(shí)，路徑跟蹤會(huì)得到顯著提高。采用線性設(shè)計(jì)后，路徑跟蹤性能得到了明顯改善。相比之下，在非線性控制器中，增益選擇與路徑跟蹤之間的聯(lián)系就不那么清晰了。正是由于這種清晰性，我們才能為簡(jiǎn)單的 LQR 控制器找到一組線性增益，從而使其性能優(yōu)于基準(zhǔn)非線性控制器。

圖 18. 用于跟蹤平衡軌跡的不同控制器的比較。藍(lán)色線表示測(cè)量值，黑色虛線表示平衡值。實(shí)驗(yàn)開(kāi)始使用 [5] 中描述的非線性控制器，然后在洋紅色垂直線指示的時(shí)間切換到本文中描述的線性控制器。

 Ⅶ 結(jié)論和未來(lái)工作    

漂移平衡點(diǎn)附近相當(dāng)大的區(qū)域內(nèi)的動(dòng)力學(xué)可以用線性化動(dòng)力學(xué)進(jìn)行合理的近似。這就允許使用經(jīng)典的線性控制技術(shù)（如 LQR）來(lái)精確控制漂移車(chē)輛的狀態(tài)和軌跡。

未來(lái)工作的一個(gè)方向是將執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)納入車(chē)輛模型。并非車(chē)輛上的所有系統(tǒng)--發(fā)動(dòng)機(jī)、制動(dòng)器和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)--都以相同的速率響應(yīng)。將執(zhí)行器動(dòng)態(tài)納入模型可避免執(zhí)行器之間的相互影響，并有可能帶來(lái)更好的結(jié)果。用于演示該控制器的車(chē)輛是電動(dòng)的，可以提供近乎瞬時(shí)的扭矩；但內(nèi)燃車(chē)輛在提供必要扭矩時(shí)會(huì)有不可忽略的延遲。這可能需要額外的建模，特別是完成更多的瞬態(tài)機(jī)動(dòng)。為了捕捉內(nèi)燃機(jī)的動(dòng)態(tài)，我們可能需要增加狀態(tài)矢量，將輪速或發(fā)動(dòng)機(jī)速度包括在內(nèi)，然后在內(nèi)燃機(jī)車(chē)輛上測(cè)試這種新控制器。

這里介紹的線性化模型也可以在模型預(yù)測(cè)控制 (MPC) 框架中實(shí)施。由于我們已經(jīng)證明，在對(duì)非線性系統(tǒng)進(jìn)行線性化后，我們可以對(duì)其進(jìn)行控制，因此我們現(xiàn)在可以使用許多與非線性系統(tǒng)不兼容的分析工具。在這里，線性化模型將使我們能夠研究不確定性；管控 MPC 是量化不確定性并提出相關(guān)主張的一個(gè)可能途徑。此外，如果我們將縱向速度作為一個(gè)狀態(tài)，并將制動(dòng)力作為一個(gè)輸入，則可以使用 MPC 框架來(lái)獲得對(duì)縱向速度的更多控制。

該控制器實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)和路徑跟蹤精度表明，漂移并不是需要避免的狀態(tài)空間區(qū)域。通過(guò)實(shí)施基于線性化模型的控制器，我們?nèi)〉昧吮仁褂酶鼜?fù)雜的非線性模型開(kāi)發(fā)的控制器更好的路徑跟蹤結(jié)果。對(duì)于漂移車(chē)輛的控制，我們還有很多需要了解的地方，這里介紹的線性化模型是我們?cè)诹私獠⒆罱K利用狀態(tài)空間的這一不穩(wěn)定區(qū)域方面邁出的重要一步。

 附錄   

力計(jì)算

由于無(wú)法直接測(cè)量輪胎受力，我們對(duì)輪胎受力進(jìn)行了如下估算。

我們使用輪胎縱軸與 Goh 等人在 [5] 中定義的總力矢量之間的夾角作為推力角，將后軸上的總力分解為縱向力和橫向力。推力角是當(dāng)前狀態(tài)的函數(shù)，包括后輪速度和包括后輪半徑在內(nèi)的車(chē)輛參數(shù)。

為了通過(guò)推力角將輪胎力聯(lián)系起來(lái)，我們假設(shè)后輪胎在滑動(dòng)時(shí)。然后我們計(jì)算后輪的橫向和縱向力

重新排列運(yùn)動(dòng)方程 (1)-(3)，我們就得到了一個(gè)由三個(gè)方程和兩個(gè)未知數(shù)組成的線性方程組。

使用 MATLAB 中的 Savitzky-Golay 濾波器計(jì)算、和 的導(dǎo)數(shù)。

參考文獻(xiàn)

責(zé)編丨高炳釗