很多文獻(xiàn)建議根據(jù)有效模態(tài)質(zhì)量來(lái)確定所需的模態(tài)數(shù)量，其實(shí)這個(gè)方法有非常大的局限性。有效模態(tài)質(zhì)量?jī)H針對(duì)約束模態(tài)，只適用于基礎(chǔ)激勵(lì)引起結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情況。而且很多情況下，僅靠有效模態(tài)質(zhì)量并不能正確反映模態(tài)對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻(xiàn)大小。

最近抽時(shí)間讀了幾篇關(guān)于有效模態(tài)質(zhì)量的文獻(xiàn)，做了一些筆記，自己也做了一些公式推導(dǎo)。整理出一篇短文章與大家分享。

本文首先討論剛體位移模態(tài)參與因子的性質(zhì)，進(jìn)而討論有效模態(tài)質(zhì)量的定義和其物理意義，最后總結(jié)有效模態(tài)質(zhì)量概念的適用范圍。

1剛體位移模態(tài)參與因子和動(dòng)力學(xué)方程解耦
我們以一個(gè)包含n個(gè)集中質(zhì)量，每個(gè)集中質(zhì)量?jī)H有一個(gè)x向運(yùn)動(dòng)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)為例，如圖1所示。



圖1 多自由度振動(dòng)系統(tǒng)承受基礎(chǔ)激勵(lì)

該系統(tǒng)固定在基礎(chǔ)上，基礎(chǔ)的振動(dòng)導(dǎo)致系統(tǒng)的振動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程如下：



其中{U}為各集中質(zhì)量相對(duì)于基礎(chǔ)的位移，üb(t)為基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)加速度，[M]、[C]和[K]分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，{I}為n階單位向量。

在線(xiàn)性范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)可以做模態(tài)變換，由物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為模態(tài)坐標(biāo)，



其中{φi}為第i階約束模態(tài)向量，qi為第i階模態(tài)坐標(biāo)。

表示系統(tǒng)剛體位移的單位向量{I}也可以表示為各階模態(tài)向量{φi}的線(xiàn)性疊加，即

其中γi我們稱(chēng)之為剛體位移模態(tài)參與因子，表征的是系統(tǒng)不發(fā)生彈性變形，僅跟隨基礎(chǔ)發(fā)生剛體位移時(shí)，各階約束模態(tài)的貢獻(xiàn)量。

系統(tǒng)的質(zhì)量陣[M]和剛度陣[K]滿(mǎn)足模態(tài)正交性條件，我們假定阻尼矩陣[C]為經(jīng)典阻尼，則阻尼矩陣[C]也滿(mǎn)足模態(tài)正交性。這樣動(dòng)力學(xué)方程（1）可以解耦為n個(gè)獨(dú)立方程。

其中Mi、Ci和Ki分別為第i階模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼和模態(tài)剛度，其定義如下：

求解這n個(gè)獨(dú)立方程，解得各階qi，再利用公式(2)，即可得到未知量{U}。

方程（4）可以看作將基礎(chǔ)的振動(dòng)加速度激勵(lì)按各階模態(tài)進(jìn)行分解，得到n個(gè)單自由度方程，剛體位移模態(tài)參與因子γi也就是加速度激勵(lì)分解因子。

結(jié)構(gòu)模態(tài)向量{φi}僅僅是反映各節(jié)點(diǎn)（注意不是指模態(tài)節(jié)點(diǎn)）位移量的比值，可以乘以任意常數(shù)因子，所以γi的數(shù)值不固定。Mi、Ci和Ki的數(shù)值也不固定，只是保持相同的比例關(guān)系，如下式，

其中ωi為第i階固有頻率，ζi為第i階模態(tài)阻尼比。

也就是說(shuō)解耦后的單自由度方程，可以看做一個(gè)振動(dòng)質(zhì)量為Mi的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，如圖2所示。該單自由度系統(tǒng)的阻尼比和固有頻率是確定的，但其質(zhì)量Mi以及加速度載荷因子γi的取值并不唯一，而是跟模態(tài)向量{φi}的縮放因子有關(guān)。所以該單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的位移響應(yīng)和支座力響應(yīng)也不固定，模態(tài)向量{φi}的縮放將導(dǎo)致響應(yīng)數(shù)值發(fā)生變化。



圖2 單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

2剛體位移模態(tài)參與因子的性質(zhì)
如果我們不是使用全部的n階模態(tài)，而是進(jìn)行了模態(tài)截?cái)啵皇褂们癿階模態(tài)，求得前m個(gè)qi。則得到的未知量的近似解{UT}為

進(jìn)而可得

對(duì)比式(1)和式(8)，可知近似解{UT}所導(dǎo)致的載荷誤差為

只要模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)m取得越大，則Σ{φi}γi就越接近{I}，則載荷誤差{δf}就越小。所以有些情況下可以根據(jù)剛體位移模態(tài)參與因子來(lái)控制模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)。

剛體位移模態(tài)參與因子有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

1. 是一個(gè)單位的量，其單位為長(zhǎng)度單位的倒數(shù)。

2. 結(jié)構(gòu)模態(tài)可以任意縮放，所以剛體位移模態(tài)參與因子的取值也不唯一，各階剛體位移模態(tài)參與因子之間也不存在固定比例關(guān)系。

3.各階剛體位移模態(tài)參與因子之和通常也不是固定值。

4.雖然剛體位移模態(tài)參與因子取值不唯一，但剛體位移模態(tài)參與因子與模態(tài)矢量的乘積{φi}γi是固定的。

3有效模態(tài)質(zhì)量的定義

第i階模態(tài)質(zhì)量的定義為

第i階有效模態(tài)質(zhì)量的定義如下

有效模態(tài)質(zhì)量實(shí)際就是用剛體位移模態(tài)參與因子縮放后的模態(tài)γi{φi}代替原始模態(tài){φi}后計(jì)算出的模態(tài)質(zhì)量。

各階有效模態(tài)質(zhì)量的和等于系統(tǒng)總質(zhì)量，證明如下。

因?yàn)楦麟A模態(tài)φi關(guān)于質(zhì)量矩陣有正交性，即

再根據(jù)公式(3), 可得

將n階有效模態(tài)質(zhì)量疊加

也就是說(shuō)n階有效模態(tài)模態(tài)質(zhì)量之和恰好等于系統(tǒng)的總質(zhì)量。

4有效模態(tài)質(zhì)量的物理意義

多自由度系統(tǒng)中各集中質(zhì)量相對(duì)于基礎(chǔ)的加速度為{Ü}基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)加速度為üb(t)，各集中質(zhì)量的絕對(duì)加速度為{Ü+üb(t)}。因?yàn)樵撜駝?dòng)系統(tǒng)所受外力僅來(lái)源于基礎(chǔ)，所以各集中質(zhì)量的慣性力之和就是結(jié)構(gòu)底部的支座力。

前面提到過(guò)，某階模態(tài)向量乘以任意常數(shù)因子后仍然代表該階模態(tài)振型，所以我們可以用{φie}={γiφi}代替第i階模態(tài)向量{φi}。

顯然{φie}所對(duì)應(yīng)的剛體位移模態(tài)參與因子{γie}=1，即

我們用qie(t)表示模態(tài)向量{φie}的模態(tài)坐標(biāo)，該階模態(tài)對(duì)于位移{U}的貢獻(xiàn)為qie(t){φie}，該階模態(tài)對(duì)于剛體位移{I}的貢獻(xiàn)為{φie}，代入式（16），求得該階模態(tài)對(duì)于支座力的貢獻(xiàn)為

其中Kie和Cie為模態(tài)向量{φie}所對(duì)應(yīng)的模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼

模態(tài)坐標(biāo)qie可通過(guò)解耦后的方程求出

如果我們分別以Mie、Kie和Cie為質(zhì)量、剛度和阻尼，建立一個(gè)單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，所受激勵(lì)為基礎(chǔ)加速度激勵(lì)üb(t)，相對(duì)于基礎(chǔ)的位移用z表示，如圖3。則動(dòng)力學(xué)方程為




圖3 以有效模態(tài)質(zhì)量建立的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)

求出z后，進(jìn)而可求得該單自由度振動(dòng)系統(tǒng)的支座力

將方程(20)和（18）與方程（21）和（22）對(duì)比，可知該單自由度系統(tǒng)的支座力，恰好就是多自由度振動(dòng)系統(tǒng)第i階模態(tài)所產(chǎn)生的支座力。

所以，一個(gè)承受基礎(chǔ)激勵(lì)的N自由度振動(dòng)系統(tǒng)，可以解耦為N個(gè)以各階有效模態(tài)質(zhì)量為振動(dòng)質(zhì)量的單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，每個(gè)單自由度系統(tǒng)所產(chǎn)生的支座力與N自由度系統(tǒng)中該階模態(tài)所產(chǎn)生的真實(shí)支座力是相等的，這就是有效模態(tài)質(zhì)量的物理意義。

上述推導(dǎo)是假設(shè)每個(gè)集中質(zhì)量只有一個(gè)自由度，所以多自由度系統(tǒng)只有一個(gè)剛體位移方向。對(duì)于實(shí)際的空間結(jié)構(gòu)，剛體位移包含三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向和三個(gè)平動(dòng)方向，所以每階有效模態(tài)質(zhì)量都是一個(gè)6*6的矩陣。

5有效模態(tài)質(zhì)量的適用范圍
原則上有效模態(tài)質(zhì)量是只針對(duì)約束模態(tài)的。對(duì)于自由狀態(tài)的結(jié)構(gòu)，其剛體位移只需要用剛體模態(tài)描述，不需要彈性模態(tài)。所以此時(shí)剛體模態(tài)的有效模態(tài)質(zhì)量就是系統(tǒng)的總質(zhì)量，各階彈性模態(tài)的有效質(zhì)量都為0。

從上面的推導(dǎo)過(guò)程可知，有效模態(tài)質(zhì)量只適用于基礎(chǔ)激勵(lì)，并不適用于其他激勵(lì)形式。所以有效模態(tài)質(zhì)量的概念主要用于建筑物的抗震設(shè)計(jì)。對(duì)于汽車(chē)上的結(jié)構(gòu)，只有少數(shù)工況才可以應(yīng)用此概念，比如蓄電池支架在車(chē)輛顛簸時(shí)的振動(dòng)響應(yīng)。

對(duì)于多自由度系統(tǒng)，如果各階模態(tài)的固有頻率與激勵(lì)頻率的比值接近相等，各階模態(tài)阻尼比也沒(méi)有太大差異，則各階模態(tài)所產(chǎn)生的支座力與其有效模態(tài)質(zhì)量基本成正比。也就是說(shuō)此時(shí)有效模態(tài)質(zhì)量反映了各階模態(tài)對(duì)于支座力的貢獻(xiàn)。所以通常認(rèn)為只要前m階模態(tài)的有效模態(tài)質(zhì)量之和達(dá)到系統(tǒng)總質(zhì)量95%以上，其它高階模態(tài)的影響可以忽略。很顯然，采用有效模態(tài)質(zhì)量法進(jìn)行模態(tài)截?cái)啵赡軙?huì)忽略掉對(duì)支座力貢獻(xiàn)較小而對(duì)結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力影響較大的某些模態(tài)。

如果各階模態(tài)的固有頻率與激勵(lì)頻率的比值并不接近，并且某階模態(tài)頻率與激勵(lì)頻率耦合，此時(shí)即使該階有效模態(tài)質(zhì)量比較小，該階模態(tài)仍然會(huì)產(chǎn)生較大的變形、應(yīng)力和支座力。這種情況下就不能采用有效模態(tài)質(zhì)量來(lái)控制模態(tài)截?cái)啵且鶕?jù)激勵(lì)頻率控制截?cái)囝l率，通常我們將截?cái)囝l率設(shè)置為最高激勵(lì)頻率的1.4倍。

6總結(jié)
1.有效模態(tài)質(zhì)量只針對(duì)約束模態(tài)，只適用于承受基礎(chǔ)激勵(lì)的振動(dòng)系統(tǒng)。

2.有效模態(tài)質(zhì)量與剛體位移模態(tài)參與因子有密切關(guān)聯(lián)。

3.各階有效模態(tài)質(zhì)量之和為系統(tǒng)的總質(zhì)量。

4.利用有效模態(tài)質(zhì)量建立的單自由度系統(tǒng)，其支座力與該階模態(tài)所產(chǎn)生的真實(shí)支座力相等。

5..利用有效模態(tài)質(zhì)量來(lái)控制模態(tài)截?cái)囝l率是一種比較粗糙的方法，有效模態(tài)質(zhì)量?jī)H能反映各階模態(tài)對(duì)于支座力的貢獻(xiàn)，而且并不適用于某階模態(tài)與激勵(lì)頻率耦合的情況。

作者簡(jiǎn)介
王朋波，清華大學(xué)力學(xué)博士，汽車(chē)結(jié)構(gòu)CAE分析專(zhuān)家。重慶市科協(xié)成員、《計(jì)算機(jī)輔助工程》期刊審稿人、交通運(yùn)輸部項(xiàng)目評(píng)審專(zhuān)家。專(zhuān)業(yè)領(lǐng)域?yàn)檎?chē)疲勞耐久/NVH/碰撞安全性能開(kāi)發(fā)與仿真計(jì)算，車(chē)體結(jié)構(gòu)優(yōu)化與輕量化，CAE分析流程自動(dòng)化等。