相位圖為分析非線性系統(tǒng)的行為提供了一種有用的方法。Voser等人使用相圖來(lái)確定漂移平衡是不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)[13]。圖 4 顯示了以漂移平衡為中心的完整非線性漂移方程的相位圖。相位圖與使用全非線性方程和數(shù)值線性化方程計(jì)算的軌跡重疊。為了生成線性化軌跡，將動(dòng)力學(xué)圍繞所示的漂移平衡線性化一次，然后使用這些動(dòng)力學(xué)計(jì)算整個(gè)軌跡的狀態(tài)導(dǎo)數(shù)。圖中所示的區(qū)域大約表示在路徑跟蹤實(shí)驗(yàn)中觀察到的平衡周圍的狀態(tài)變量變化范圍。

圖 4.在橫向速度-偏航速率相位平面中繪制的相位圖和軌跡。動(dòng)力學(xué)圍繞星號(hào)表示的平衡進(jìn)行線性化，位于，和。使用非線性模型計(jì)算的相位圖以淺藍(lán)色箭頭顯示。使用線性化模型（藍(lán)線）和線性化模型（紅色虛線）計(jì)算從整個(gè)相位平面開始的模擬軌跡。請(qǐng)注意，使用線性化動(dòng)力學(xué)模擬的軌跡與使用完全非線性動(dòng)力學(xué)模擬的軌跡非常匹配。

在漂移平衡附近，使用線性方程計(jì)算的軌跡與使用非線性方程計(jì)算的軌跡定性匹配。沒(méi)有明顯缺失的動(dòng)態(tài)或行為。此外，這些軌跡在定量意義上也非常吻合。這表明線性模型在平衡周圍足夠大的區(qū)域上很好地表示系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，以便使用線性技術(shù)進(jìn)行控制。雖然這里只展示了單個(gè)平衡的線性化，但圖 4 代表了大范圍的漂移平衡。

為了更好地理解線性化動(dòng)力學(xué)如何從平衡到平衡變化，我們計(jì)算并繪制了整個(gè)橫向速度 - 偏航速率相位平面的平衡特征向量。漂移的兩種狀態(tài)表示有一個(gè)穩(wěn)定和一個(gè)不穩(wěn)定的特征向量;圖 5 顯示了相位平面。從質(zhì)量上講，穩(wěn)定的特征向量在各種均衡中保持非常一致的方向。不穩(wěn)定特征向量的方向隨著漂移平衡的變化而逐漸改變。特征值大小也會(huì)隨著平衡值的變化而平滑而緩慢地變化。

圖5. 整個(gè)相平面漂移平衡的特征向量。顯示的平衡是通過(guò)保持縱向速度和曲率半徑恒定和變化的橫向速度從 -6 到 -2.5 m/s。計(jì)算并繪制每個(gè)繪制的均衡的線性動(dòng)力學(xué)的特征向量。不穩(wěn)定的特征向量顯示為紅色，而穩(wěn)定的特征向量顯示為藍(lán)色。每個(gè)特征向量的大小由其相應(yīng)的特征值進(jìn)行縮放。請(qǐng)注意，當(dāng)橫向速度顯著變化時(shí)，特征向量和值的方向和大小會(huì)平滑變化。

特征結(jié)構(gòu)的一致性為漂移平衡提供了一些額外的見解。雖然漂移是不穩(wěn)定的，但不穩(wěn)定的特征是一致的，并且使用線性理解可以很好地預(yù)測(cè)。對(duì)于給定的線性控制器，當(dāng)系統(tǒng)移動(dòng)到相鄰平衡或在單個(gè)平衡周圍的區(qū)域時(shí)，開環(huán)動(dòng)力學(xué)特征結(jié)構(gòu)的一致性會(huì)導(dǎo)致閉環(huán)動(dòng)力學(xué)的預(yù)期一致性。這讓我們更有信心，可以使用基于線性模型的控制器控制整個(gè)區(qū)域的車輛。

 Ⅳ 控制器開發(fā)

在不犧牲模型保真度的情況下，使用線性模型表示車輛動(dòng)力學(xué)的能力允許將傳統(tǒng)的線性控制技術(shù)應(yīng)用于控制漂移車輛的問(wèn)題。

A. 穩(wěn)定和路徑跟蹤控制器

如（13a）所示，該系統(tǒng)由四種狀態(tài)表示：和和兩個(gè)輸入：和。所有狀態(tài)和輸入都以偏離平衡值的程度來(lái)衡量，當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期平衡時(shí)，狀態(tài)和輸入都將等于零（平衡值已經(jīng)為零）。雖然線性化狀態(tài)方程可以應(yīng)用多種線性控制技術(shù)，但本文重點(diǎn)介紹線性二次調(diào)節(jié)器 （LQR） 控制，因?yàn)樗仁煜び滞该?。無(wú)限視距 LQR 的增益矩陣很容易計(jì)算，和矩陣也有直觀的解釋。這樣就可以對(duì)線性化動(dòng)力學(xué)進(jìn)行額外的測(cè)試--系統(tǒng)是否以直觀的方式對(duì)這些矩陣的變化做出反應(yīng)？第V-D 節(jié)通過(guò)實(shí)驗(yàn)回答了這個(gè)問(wèn)題。

矩陣和矩陣最初是根據(jù)布賴森法則[14]選擇的，并在模擬中進(jìn)行了調(diào)整，最后在初步實(shí)驗(yàn)后進(jìn)行了調(diào)整。最終的矩陣和矩陣（如下所示）為對(duì)角矩陣，分別對(duì)狀態(tài)和指令進(jìn)行懲罰。每個(gè)對(duì)角線條目均為(1/與平衡值的最大可接受偏差)

輸入形式為，其中是無(wú)限視距LQR 問(wèn)題的解。閉環(huán)系統(tǒng)的形式為：

請(qǐng)注意，所需的漂移平衡（使用單軌模型、Fiala 輪胎模型和車輛的估計(jì)參數(shù)計(jì)算）可能不是真實(shí)系統(tǒng)的實(shí)際平衡。漂移中的建模和參數(shù)錯(cuò)誤比比皆是，因?yàn)檩喬ピ跍y(cè)試過(guò)程中會(huì)發(fā)熱并脫落橡膠，從而產(chǎn)生與模型中假設(shè)的靜態(tài)值不同的變化。如果計(jì)算出的平衡不是系統(tǒng)的真正平衡，則此控制器無(wú)法校正穩(wěn)態(tài)誤差。因此，這種方法應(yīng)該預(yù)料到穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。然而，特征結(jié)構(gòu)的一致性表明，這種參數(shù)變化不會(huì)對(duì)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性產(chǎn)生重大影響。稍后介紹的實(shí)驗(yàn)研究了即使使用簡(jiǎn)單的控制器設(shè)計(jì)，特征結(jié)構(gòu)一致性是否足以處理實(shí)際參數(shù)的變化。