幅頻響應(yīng)以雙對數(shù)標(biāo)尺繪制。放大（或衰減，以dB為單位）根據(jù)對數(shù)頻率繪制（必要時歸一化頻率）。在幅頻響應(yīng)中，通帶、阻帶和過渡帶（圖5）有質(zhì)的區(qū)別：

通帶（Pass Band）：通帶中的數(shù)據(jù)直接傳送給輸出，作為輸出的時間歷程。為了確保通帶中的數(shù)據(jù)與原始時間歷程數(shù)據(jù)相同，濾波器中應(yīng)該沒有紋波（ripple）。紋波會導(dǎo)致幅值隨頻率的輕微變化。理想情況下，在這個頻帶內(nèi)，濾波器的增益應(yīng)為0dB（即輸出=輸入，不改變信號的頻率成分）。

渡帶（Transition Band）：根據(jù)應(yīng)用（階數(shù)、算法等）的不同，在通帶和阻帶之間的過渡帶的頻率寬度應(yīng)盡可能窄。算法和濾波器階數(shù)都決定了通帶和阻帶之間過渡的快慢。理想情況下，過渡帶內(nèi)的斜率盡可能陡（大幅衰減這些頻率成分的幅值），從通帶到阻帶的拐彎盡可能急劇變化。

阻帶（Stop Band）：如果阻帶有波紋，阻帶也可能包含數(shù)據(jù)。在某些應(yīng)用中，由于波紋導(dǎo)致的幅值可能很小，可能無關(guān)緊要。但在其他一些應(yīng)用中，阻帶的波紋可能不可接受。理想情況下，阻帶的增益應(yīng)為負(fù)無窮大（即輸出=0），能完全移除這些頻率成分。

圖5 以低通濾波器的幅頻為例說明通帶、阻帶和過渡帶

在過渡帶，為了描述其衰減，通常按衰減量以dB/10倍頻（dB/dec）或dB/倍頻程（dB/otc）表示過渡帶的衰減斜率。對于低通和高通濾波器，衰減量為每個濾波器階數(shù)增加20dB/dec或6dB/oct。因此，濾波器可以用過渡帶衰減量和濾波器階數(shù)來表征。在從通帶到過渡帶的拐彎處，增量額外由濾波器類型決定，并且偏離漸近線。

截止頻率fc是衰減3dB對應(yīng)的頻率。這個定義沒有約束力，但是經(jīng)常這樣定義。在截止頻率fc處，由于技術(shù)上的實現(xiàn)，濾波器不具有無限大的邊緣陡度，約為輸入信號的70%幅值在輸出端仍然是可測量的（-3dB）。以低通濾波器為例，-3dB頻率定義的截止頻率為

在測量應(yīng)用中，這意味著描述了一個誤差，這個誤差在截止頻率處近似為30%，是一個相當(dāng)大的誤差。如果我們想要估計正弦信號的均方根值（RMS），就必須仔細(xì)評估濾波器截止頻率的影響。

濾波器的階數(shù)直接決定了過渡帶的衰減斜率，階數(shù)越高，過渡帶的衰減斜率越陡峭。另一方面，階數(shù)越高，計算時間越長，導(dǎo)致計算效率低下，同時也使得時間延遲更長。圖6顯示了IIR巴特沃斯濾波器在相同截止頻率、不同階數(shù)下的過渡帶衰減斜率?？梢钥闯觯瑸V波器階數(shù)越高，斜率越大，阻帶內(nèi)的衰減越快。為了分離出頻率范圍，可嘗試使用盡可能高階的濾波器，但是高階濾波器的計算效率會降低，同時，時間延遲會增加。因此，選擇合適的階數(shù)，需要在這些方面做出權(quán)衡。

圖6 不同階數(shù)的IIR巴特沃斯濾波器的幅頻響應(yīng)

除了濾波器階數(shù)外，濾波器類型也起作用。將巴特沃斯濾波器與貝塞爾濾波器和切比雪夫濾波器在4階濾波器（斜率相同）和截止頻率相同的情況下進(jìn)行比較（圖7）。對于阻帶內(nèi)的頻率，貝塞爾濾波器的阻帶衰減較慢，切比雪夫濾波器的阻帶衰減較巴特沃斯濾波器快。然而，切比雪夫濾波器在通帶中表現(xiàn)出紋波（特別是在截止頻率區(qū)域），即輸出信號在通帶中也作為頻率的函數(shù)被放大或衰減。

圖7 4階巴特沃斯、貝塞爾和切比雪夫濾波器的幅頻響應(yīng)

相頻響應(yīng)和群延遲

如果經(jīng)濾波器輸出的信號與輸入之間同相位（相位差為0），那么，濾波器不存在時間延遲。但實際上，一個時域信號經(jīng)濾波器后的輸出，與原始時域信號相比，總存在或大或小的時間延遲，時間延遲（時移）會引起相位移動（相移），如圖8所示。圖中上部給出了濾波前（紅色）的原始時域噪聲信號（輸入）和濾波后（綠色）的時域信號（輸出），對比兩個最大幅值位置，可以看出存在明顯的時間差（時間延遲），這樣濾波后的信號將不再與同步采集的振動信號在時間軸上對齊?？赡茉谝恍?yīng)用場景中，這個時間延遲無關(guān)緊要。但在另外一些應(yīng)用中，這個時間延遲卻至關(guān)重要，例如：

故障排查：對于多通道同步采集的噪聲和振動數(shù)據(jù)，如果僅對噪聲數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波，則會導(dǎo)致濾波后的噪聲數(shù)據(jù)相對于振動數(shù)據(jù)有時間延遲（見圖8）。當(dāng)試圖弄清楚振動事件是否產(chǎn)生了噪聲時，這種時間延遲將使我們很難看出振動和噪聲事件是否相關(guān)。

ODS分析：如果在工作變形分析（ODS）中，僅對部分振動通道應(yīng)用了濾波器，而其他的沒有，這將導(dǎo)致這些通道之間的相位關(guān)系被改變。因而，ODS動畫將不正確，影響工程決策。

圖8 濾波前后的信號存在明顯的時間延遲

由于輸出與輸入信號之間存在相位差，因而，濾波器的相頻響應(yīng)也是濾波器特性之一。濾波器的相頻響應(yīng)描述了相位角φ的頻率依賴性。在這里，相位角φ在對數(shù)頻率軸f（或角頻率ω）上繪制線性幅值（以度或弧度為單位）。濾波器會引起輸入和輸出信號之間的相位變化。以低通濾波器為例，在截止頻率處相移為90°。當(dāng)濾波器階數(shù)較高時，接近截止頻率時發(fā)生180°的相位跳變。相位跳變的原因是arctan函數(shù)只在-180°到+180°范圍內(nèi)有解。相移也發(fā)生在濾波器的阻帶中。然而，由于該頻率范圍內(nèi)的阻帶衰減較大，因此該頻率范圍內(nèi)的相移沒有實際意義。

以巴特沃斯低通濾波器為例（圖9a），所有三個濾波器的相頻響應(yīng)都顯示出頻率相關(guān)的相移。隨著濾波器階數(shù)的增加，越接近截止頻率，相移增大。如果將不同類型的濾波器以相同的濾波器階數(shù)與巴特沃斯濾波器進(jìn)行比較，則貝塞爾濾波器的相移較小，切比雪夫濾波器的相移較大（圖9b）。

圖9 2、4和6階巴特沃斯低通濾波器的相頻響應(yīng)(a)；比較4階低通巴特沃斯、貝塞爾和切比雪夫濾波器的相頻響應(yīng)(b)

理想情況下，所有信號頻率的相移量應(yīng)該是相同的（FIR濾波器滿足這個條件）。如果不滿足這個條件，則各個信號分量根據(jù)其頻率經(jīng)歷不同的相移，或者說相移量是頻率的函數(shù)。這被描述為群延遲。相位在角頻率上的負(fù)增長稱為群延遲，它描述了正弦信號在濾波器中的傳播時間：

與頻率無關(guān)的群延遲意味著信號在濾波器中延遲的時間相同，與頻率無關(guān)。與相移相比，從群延遲中無法獲得定性的描述。然而，群延遲的說明規(guī)范往往比相位角更具描述性。群延遲的頻率依賴性意味著信號分量以不同的速度通過濾波器。與輸入信號相比，這會導(dǎo)致輸出信號失真。

隨著濾波器階數(shù)的增加，通帶內(nèi)的群延遲（圖10）會變大。所考慮的巴特沃斯低通濾波器的最大群延遲發(fā)生在截止頻率附近。濾波器階數(shù)越高，最大群延遲值越明顯。因此，濾波器的階數(shù)會影響輸出信號的時間延遲。所有類型的濾波器都會產(chǎn)生時間延遲，無論是模擬濾波器還是數(shù)字濾波器。依賴于濾波器特性，時間延遲或長或短，它們也隨頻率成分變化。

圖10 2、4和6階巴特沃斯低通濾波器的群延遲

輸入信號經(jīng)濾波器濾波后輸出，這種方式，我們稱為直接濾波。直接濾波總是會產(chǎn)生時間延遲，為了消除濾波器輸出信號中時間延遲，可以通過時間軸向前和向后濾波數(shù)據(jù)來實現(xiàn)。在對輸入信號濾波后，創(chuàng)建新的輸出信號，新輸出信號中的數(shù)據(jù)點按時間順序反向再次輸入數(shù)字濾波器中，消除時間延遲。這被稱為零相位濾波。如圖11所示，對比原始信號（紅色）、直接濾波后的時域信號（綠色）和零相位濾波信號（藍(lán)色）可以看出，零相位濾波信號與原始信號時間上是對齊的，不存在時間延遲，但直接濾波的信號存在時間延遲。但在零相位濾波信號的末端，由于沒有更多的數(shù)據(jù)用于濾波，這會導(dǎo)致在數(shù)據(jù)末端出現(xiàn)數(shù)據(jù)丟失。

圖11 對比直接濾波與零相位濾波的結(jié)果

雖然零相位濾波器的輸出在時間軸上與原始輸入信號對齊，但是由于數(shù)據(jù)被濾波兩次，因此，衰減將加倍。故，使用零相位濾波器時有一些權(quán)衡：

計算需要兩倍的時間來執(zhí)行。只有數(shù)字化的數(shù)據(jù)易于實現(xiàn)，模擬信號難以執(zhí)行。濾波后，在時域波形的末端會出現(xiàn)數(shù)據(jù)丟失。