04、濾波器的瞬態(tài)響應(yīng)

傳遞函數(shù)描述穩(wěn)態(tài)下的傳遞行為是所有瞬態(tài)過(guò)程衰減之后，記錄時(shí)域的動(dòng)態(tài)過(guò)程，例如，對(duì)階躍函數(shù)的階躍響應(yīng)。

濾波器

輸入的階躍函數(shù)

是輸入信號(hào)在t=0時(shí)從0到1的階躍，可以可視化為方波信號(hào)的上升沿或被測(cè)信號(hào)的開(kāi)啟。

階躍響應(yīng)是

濾波后的信號(hào)作為系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)。如果群延遲是頻率相關(guān)的，則階躍函數(shù)的信號(hào)分量以不同的速度通過(guò)濾波器。在階躍響應(yīng)中，輸出端的方波邊緣會(huì)出現(xiàn)畸變。

上升時(shí)間，瞬態(tài)時(shí)間和延遲時(shí)間

上升時(shí)間TA被理解為，濾波器對(duì)輸入從0無(wú)限快速跳變到1（矩形信號(hào)的上升沿）的響應(yīng)的時(shí)間跨度。上升時(shí)間有幾種定義，除了拐點(diǎn)處的切線外，還使用10%和90%幅值對(duì)應(yīng)的時(shí)間差來(lái)定義。在上升之后，可能會(huì)出現(xiàn)階躍響應(yīng)的過(guò)沖（overshoot），隨后是衰減振蕩。直到過(guò)沖消退并達(dá)到穩(wěn)態(tài)終值的時(shí)間稱為瞬態(tài)時(shí)間。穩(wěn)定時(shí)間取決于上升時(shí)間和幅值公差帶（通常定義為±5%）的定義。穩(wěn)定時(shí)間是上升時(shí)間的2.2~3倍。

截止頻率fc與上升時(shí)間TA的關(guān)系近似如下

結(jié)果表明，濾波器的階數(shù)和類型對(duì)上升時(shí)間有影響。對(duì)于AC耦合高通濾波器，如果截止頻率為0.5Hz，則上升時(shí)間非常顯著：上升時(shí)間為2秒。作為一個(gè)粗略的經(jīng)驗(yàn)法則，到過(guò)沖衰減，穩(wěn)定時(shí)間應(yīng)該考慮3倍的上升時(shí)間。在放大器的輸入電路中，AC耦合高通濾波器常用于從直流電路中分離出測(cè)量信號(hào)。然而，這種電流隔離可能導(dǎo)致更長(zhǎng)的穩(wěn)定時(shí)間，例如，在用一個(gè)A/D轉(zhuǎn)換器采集多個(gè)模擬信號(hào)的多路復(fù)用中（早期多采用這種方式，現(xiàn)今普遍一個(gè)通道對(duì)應(yīng)一個(gè)A/D轉(zhuǎn)換器）。

2階、4階和6階巴特沃斯低通濾波器對(duì)階躍函數(shù)的響應(yīng)如圖12a所示。在這個(gè)例中，截止頻率fc=100Hz，響應(yīng)的上升時(shí)間TA=0.01s，使用3倍因子，穩(wěn)定時(shí)間為0.03s。階躍響應(yīng)相對(duì)于作為輸入的階躍函數(shù)在時(shí)間軸上有移動(dòng)（時(shí)間延遲）。過(guò)沖消退時(shí)間和瞬態(tài)時(shí)間隨濾波器階數(shù)的增加而增加（見(jiàn)圖12a）。濾波器也會(huì)改變階躍函數(shù)的幅值。階躍函數(shù)在輸入處的值是1不代表濾波器在輸出端響應(yīng)也為1，因?yàn)樵谒矐B(tài)時(shí)間內(nèi)會(huì)出現(xiàn)過(guò)沖。隨著濾波器階數(shù)的增加，過(guò)沖的峰值也增加。必須強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，這些過(guò)沖是濾波器對(duì)階躍函數(shù)的響應(yīng)。相反，傳輸一個(gè)正弦信號(hào)，濾波器不存在過(guò)沖。

圖12 2、4、6階巴特沃斯低通濾波器的階躍響應(yīng)(a)，4階巴特沃斯、貝塞爾和切比切夫低通濾波器的階躍響應(yīng)(b)

在圖12b中，對(duì)比了4階巴特沃斯濾、貝塞爾和切比雪夫?yàn)V波器，貝塞爾濾波器的過(guò)沖最小，切比雪夫?yàn)V波器的過(guò)沖最大。切比雪夫?yàn)V波器穩(wěn)態(tài)后增益幅值小于1。與巴特沃斯濾波器相比，貝塞爾濾波器的上升時(shí)間較長(zhǎng)，切比雪夫?yàn)V波器的上升時(shí)間較短。

05

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頻帶濾波器的相關(guān)定義

對(duì)于帶通、帶阻和陷波濾波器而言，需要定義特定的頻帶，允許（帶通）或阻隔（帶阻）或大幅衰減（陷波）這個(gè)頻帶內(nèi)的信號(hào)，這些需要定義特定頻帶的濾波器統(tǒng)稱為頻帶濾波器（Band Filter）。

對(duì)于頻帶濾波器，下截止頻率fl和上截止頻率fu參考濾波器的中心頻率fm。絕對(duì)帶寬B定義如下：

中心頻率為兩截止頻率的均方根：

由此可以計(jì)算出相對(duì)帶寬Δfrel：

濾波器品質(zhì)Q定義為相對(duì)帶寬Δfrel的倒數(shù)：

如果改變帶通濾波器的中心頻率，必須區(qū)分兩種類型的濾波器：

帶通濾波器的上截止頻率和下截止頻率通常（但不是統(tǒng)一地）指定為3dB帶寬，在該帶寬處，傳遞幅值比中心頻率處或相對(duì)于平均傳遞幅值小3dB。作為這種方法的替代方法，利用有效噪聲帶寬將濾波器與具有相同中心頻率和無(wú)限陡峭邊緣的理想濾波器進(jìn)行了比較。對(duì)于白噪聲激勵(lì)（恒功率譜密度），設(shè)置上截止頻率和下截止頻率，使實(shí)際濾波器和理想濾波器的總傳輸功率一致。對(duì)于低階的濾波器，3dB帶寬和有效噪聲帶寬可能不同。圖13顯示了帶通濾波器低頻fl=10Hz和高頻fu=1000Hz，-3dB帶寬的幅頻響應(yīng)。傳遞范圍內(nèi)60dB/dec的斜率對(duì)應(yīng)于高通和低通的3階濾波器。

圖13 帶通濾波器的幅頻響應(yīng)

06、模擬濾波器